Mathistory

Warum beweisen wir?

Beweise

Wie „es funktioniert“ nicht mehr genügte

SECHS STATIONEN

Blättere mit den Pfeilen oder durch Wischen nach links und rechts durch die Stationen; die Zeitleiste bleibt oben.

PROLOG · HEUTE · EIN RÄTSEL ZUM EINSTIEG

Reicht es, dass es funktioniert?

I

FrageWie viele Beispiele reichen?

Bevor wir uns in die Vergangenheit aufmachen, ein Rätsel. Probiere den Ausdruck

n2 + n + 41

für n = 0, 1, 2, 3, … aus und finde heraus, welche Zahlen herauskommen.

Erhältst du für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 eine Primzahl? Wie viele Werte von n würdest du ausprobieren, bevor du glaubst, dass die Formel immer Primzahlen liefert?

Probier weiter

verschiebe den Regler
0

Antwort aufdecken – wenn du es ausprobiert hast

Die Formel liefert Primzahlen für alle n = 0, 1, …, 39. Für n = 40 ergibt sich aber 402 + 40 + 41 = 412 = 1681, also eine zusammengesetzte Zahl. Vierzig erfolgreiche Überprüfungen reichten also nicht.

II

IdeeÜberprüfen an Beispielen ist kein Beweis.

Das ist der Grundgedanke der ganzen Reise: Selbst vierzig gelungene Versuche garantieren nicht, dass der einundvierzigste nicht anders ausgeht.

An den nächsten Stationen sehen wir uns an, wann und warum Menschen diese Erfahrung gemacht haben und wie daraus der Beweis entstand, also eine Möglichkeit, sich sicher zu sein.

III

FormelVierzig Erfolge und eine Ausnahme.

FORMEL

n2 + n + 41

n = 40:  402 + 40 + 41 = 412

Beispiele können eine Behauptung widerlegen, aber niemals beweisen.

STATION I · ETWA 19.–17. JAHRHUNDERT V. CHR.

Mesopotamien: „Es funktioniert, das sieht man doch“

Schreiber in Mesopotamien

I

FrageSind viele Beispiele dasselbe wie ein Beweis?

Die babylonischen Schreiber hatten Verfahren, die funktionierten, und überprüften sie an vielen Beispielen. Ist das dasselbe wie ein Beweis? Was hätte ihnen gefehlt, damit wir sagen könnten, dass sie wissen, dass die Formel für alle p, q gilt?

Zum Nachdenken – überlegt es euch zuerst zu zweit

Es fehlte ihnen eine allgemeine Begründung, die nicht von konkreten Zahlen abhängt. Bei pythagoreischen Tripeln genügt es auszumultiplizieren:

(p2 − q2)2 + (2pq)2 = (p2 + q2)2

Probier es selbst – eine gute Aufgabe für eine Minute.

II

MenschSchreiber mit Tontafeln.

Vor rund 4000 Jahren, in altbabylonischer Zeit (etwa 19.–17. Jahrhundert v. Chr.), schrieben Schreiber in Mesopotamien mathematische Aufgaben und Tabellen in Keilschrift auf Tontafeln. Tausende davon sind erhalten.

Die berühmte Tafel Plimpton 322 (aufbewahrt an der Columbia University) enthält eine Tabelle mit fünfzehn Zeilen von Zahlen. Nach heutiger Deutung handelt es sich um eine Liste pythagoreischer Tripel, also Tripel natürlicher Zahlen (a, b, c), für die a2 + b2 = c2 gilt. Die Babylonier kannten also die Beziehung, die wir heute mit Pythagoras verbinden, mehr als tausend Jahre früher.

Auf einer anderen berühmten Tafel (YBC 7289) ist ein Näherungswert für √2 im Sexagesimalsystem festgehalten, der der Zahl 1,41421296… entspricht.

Von den Tafeln sind vor allem Verfahren und Zahlenbeispiele erhalten, keine allgemeine Begründung im heutigen Sinn. Der Zweck der Tafel Plimpton 322 ist unter Historikern umstritten (Liste von Tripeln, Lehrmittel, andere Erklärung). Wir sagen also nicht, „die Babylonier konnten nicht beweisen“, sondern dass die erhaltenen Texte keinen Beweis im späteren griechischen Sinn enthalten. Mehr (auf Englisch): Before Pythagoras (ISAW, NYU).

III

IdeeEin Verfahren, das funktioniert.

PROBIER ES WIE EIN SCHREIBER

Überprüfe, dass die Tripel (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) pythagoreisch sind. Versuche dann, weitere zu finden. Beachte, dass sich für beliebige p > q das Tripel

(p2 − q2, 2pq, p2 + q2)

ergibt. Probier es für einige Werte von p, q aus. Gilt das immer?

Die Tabelle des Schreibers

wähle p und q

Jedes weitere Beispiel, das aufgeht, bestärkt uns. Doch selbst tausend ausprobierte Paare sagen noch nicht, dass es für alle aufgeht.

IV

FormelMan kannte sie tausend Jahre vor Pythagoras.

FORMEL

a2 + b2 = c2

(p2 − q2)2 + (2pq)2 = (p2 + q2)2

Ein Verfahren, das funktioniert, ist noch kein Beweis.

STATION II · UM DAS 6. JAHRHUNDERT V. CHR. · MILET

Thales von Milet: „Warum gilt das?“

I

FrageReicht es nicht, dass wir es sehen?

Zeichne einen Kreis und einen Durchmesser. Ist dir klar, dass er den Kreis in zwei gleiche Hälften teilt? Und was, wenn dich jemand fragt: Warum?

Wie Thales antwortete – der Überlieferung nach

Proklos gibt die Überlieferung wieder, dass Thales so argumentierte: Wir falten den Kreis entlang des Durchmessers – beide Hälften müssen genau aufeinanderliegen, weil jeder Punkt der Kreislinie vom Mittelpunkt gleich weit entfernt ist und der Durchmesser durch den Mittelpunkt geht.

Wichtig ist nicht, wie einfach dieses Argument ist, sondern dass an die Stelle von „wir sehen, dass es so ist“ die Frage tritt, „warum es so sein muss“, und dass die Antwort auf dem beruht, was wir schon wissen.

II

MenschEiner der Sieben Weisen.

Einige hundert Jahre später, um das 6. Jahrhundert v. Chr., lebte Thales in der griechischen Stadt Milet. Die Überlieferung zählt ihn zu den Sieben Weisen des antiken Griechenlands und schreibt ihm mehrere geometrische Sätze zu. Sicher wissen wir über ihn nicht viel – die ältesten Berichte stammen erst von späteren Autoren, zum Beispiel von Proklos (5. Jahrhundert n. Chr.), der eine ältere Geschichte der Geometrie zitiert.

Der Überlieferung nach zeigte er unter anderem, dass:

  • jeder Durchmesser den Kreis in zwei kongruente Hälften teilt,
  • Scheitelwinkel gleich groß sind,
  • der Winkel im Halbkreis ein rechter ist (heute der Satz des Thales).

Nach einer anderen Überlieferung bestimmte er die Höhe einer Pyramide aus der Länge ihres Schattens. Überlege dir, warum und wann das funktioniert (Tipp: ähnliche Dreiecke).

Bei Thales wissen wir nicht sicher, ob er den Satz des Thales bewiesen hat; die Überlieferung schreibt ihm eher zu, ihn entdeckt zu haben. Ein Beweis steht in Euklids Elementen (Buch III, Proposition 31). Mehr (auf Englisch): MacTutor, University of St Andrews.

III

IdeeDirekter Beweis: Schritt für Schritt aus dem, was wir wissen.

SATZ DES THALES – DAS ERSTE BEISPIEL EINES DIREKTEN BEWEISES

Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt S und Durchmesser AB sowie ein Punkt C auf dem Kreis. Beweise, dass der Winkel ACB ein rechter ist.

Tipp: Die Dreiecke ASC und BSC sind gleichschenklig. Was weißt du über die Winkelsumme im Dreieck ABC?

Lösung

Die Strecken SA, SB, SC sind Radien, also gleich lang. Deshalb setzen wir ∠SAC = ∠SCA = α und ∠SBC = ∠SCB = β. Für die Winkelsumme im Dreieck ABC gilt

2α + 2β = 180°,  also  α + β = 90° = ∠ACB.

AB CS αβ αβ
Der Radius SC teilt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke.
Für Neugierige: die Umkehrung des Satzes des Thales – der Thaleskreis

Behauptung: Liegt ein Punkt C (verschieden von A, B) so, dass ∠ACB = 90°, dann liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. Die Menge aller Punkte, von denen aus man AB unter einem rechten Winkel sieht, ist also dieser Kreis (ohne die Punkte A, B).

Der Beweis ist indirekt, durch Ausschluss: Der Punkt C (außerhalb der Geraden AB) kann innerhalb des Kreises liegen, außerhalb oder auf ihm. Wir zeigen, dass innen ein stumpfer und außen ein spitzer Winkel entsteht, sodass der rechte Winkel nur auf dem Kreis übrig bleibt.

  • Auf dem Kreis: ∠ACB = 90° ist der Satz des Thales (Beweis oben).
  • Innen: Die Halbgerade AC schneidet den Kreis in einem Punkt D hinter dem Punkt C. Nach dem Satz des Thales ist ∠ADB = 90°. Der Winkel ACB ist ein Außenwinkel des Dreiecks CDB am Eckpunkt C, also ∠ACB = ∠CDB + ∠CBD = 90° + ∠CBD > 90° (der Winkel ist stumpf).
  • Außen: Eine der Strecken AC, BC (sagen wir AC) tritt in den Kreis ein und schneidet die Kreislinie in einem Punkt D ≠ A. Dann ist ∠ADB = 90° ein Außenwinkel des Dreiecks DCB am Eckpunkt D, also 90° = ∠DCB + ∠DBC und ∠ACB = ∠DCB = 90° − ∠DBC < 90° (der Winkel ist spitz).

Ist also ∠ACB = 90°, kann C weder innen noch außen liegen, und es bleibt nur die Lage auf dem Kreis. Die heikle Stelle ist der Fall „außen“: Man muss sich überlegen, dass mindestens eine der Strecken AC, BC den Kreis tatsächlich schneidet.

Kurze Alternative ohne Fallunterscheidung: Ist S der Mittelpunkt von AB und r = ½ |AB|, dann gilt CA⃗ · CB⃗ = |CS|2 − r2. Der Winkel ist also genau dann ein rechter, wenn |CS| = r, genau dann stumpf, wenn |CS| < r, und genau dann spitz, wenn |CS| > r.

IV

FormelDer Winkel im Halbkreis.

DIREKTER BEWEIS

2α + 2β = 180°  ⇒  ∠ACB = α + β = 90°

Aus dem, was wir wissen, Schritt für Schritt zu dem, was wir beweisen wollen.

STATION III · AB DEM 6. JAHRHUNDERT V. CHR. · SÜDITALIEN

Die Pythagoreer und eine Entdeckung, die nicht ins Bild passte

I

FrageIst jede Länge ein Bruch?

Die Pythagoreer glaubten, dass jede Länge ein Verhältnis ganzer Zahlen ist. Lässt sich √2 als Bruch pq schreiben? Wie würdest du versuchen, das herauszufinden (durch Ausprobieren? durch Rechnen?), und wie könntest du zeigen, dass es nie aufgeht?

Warum Ausprobieren hier nicht hilft

Es gibt unendlich viele Brüche, und durch kein Ausprobieren lässt sich zeigen, dass keiner passt. Hier wird der Beweis also zur Notwendigkeit.

II

MenschEine Schule, für die alles Zahl ist.

Die nächste Station ist Süditalien, wo die Schule der Pythagoreer wirkte (etwa ab dem 6. Jahrhundert v. Chr.). Sie ist mit dem Namen des Pythagoras von Samos verbunden. Ihnen wird die Lehre zugeschrieben, alles sei Zahl, also dass sich alles mithilfe ganzer Zahlen und ihrer Verhältnisse (Brüche) ausdrücken lasse.

Der Satz a2 + b2 = c2 trägt den Namen des Pythagoras, obwohl er (siehe Mesopotamien) in der Praxis schon viel früher bekannt war. Es ist nicht sicher, ob ihn Pythagoras selbst oder einer seiner Nachfolger bewiesen hat. Der Unterschied liegt aber darin, dass die Griechen begannen, ihn für alle rechtwinkligen Dreiecke zu begründen.

Und gerade aus diesem Satz ergibt sich ein Problem: Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 hat eine Diagonale der Länge √2.

Der Überlieferung nach entdeckte der Pythagoreer Hippasos von Metapont, dass sich √2 nicht als Bruch schreiben lässt. Die Legende erzählt, er sei dafür zur Strafe im Meer ertränkt worden.

Die Geschichte von Hippasos’ Bestrafung ist wohl eine spätere Legende; in den alten Quellen wird die Entdeckung der Irrationalität nicht eindeutig Hippasos zugeschrieben, und die Angaben zu seinem Schicksal gehen auseinander.

III

IdeeBeweis durch Kontraposition und Widerspruchsbeweis.

Der alte Beweis ist ein Widerspruchsbeweis: Wir nehmen das Gegenteil dessen an, was wir beweisen wollen, und gelangen zu einem Widerspruch. Aristoteles führt diese Überlegung zur Diagonale des Quadrats als Beispiel für einen Widerspruchsbeweis an.

Für den Beweis brauchen wir eine Hilfsaussage. Wir beweisen sie auf andere Weise als direkt, nämlich durch Kontraposition.

BEWEIS DURCH KONTRAPOSITION

Beweise: Wenn a2 durch drei teilbar ist, dann ist auch a durch drei teilbar (a ∈ ℕ).

Tipp: Direkt geht das schlecht. Beweise stattdessen die Kontraposition: Wenn a nicht durch drei teilbar ist, dann ist auch a2 nicht durch drei teilbar. Welche Reste kann a bei der Division durch drei lassen?

Lösung

Wir beweisen die kontraponierte Implikation (¬B ⇒ ¬A): Wenn die natürliche Zahl a nicht durch drei teilbar ist, dann ist auch a2 nicht durch drei teilbar.

Eine natürliche Zahl a, die nicht durch drei teilbar ist, lässt sich als a = 3k + 1 oder a = 3k + 2 schreiben, wobei k ∈ ℕ0. Wir quadrieren beide Ausdrücke:

(3k + 1)2 = 3(3k2 + 2k) + 1
(3k + 2)2 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1

In beiden Fällen erhalten wir bei der Division durch drei den Rest 1, also ist a2 nicht durch drei teilbar.

WIDERSPRUCHSBEWEIS

Beweise mithilfe der vorigen Aussage durch Widerspruch, dass √3 irrational ist.

Bonus: Wie sähe das für √2 aus? (Statt der Teilbarkeit durch drei verwende gerade und ungerade Zahlen.)

Lösung

Angenommen, √3 ist rational. Dann lässt sich schreiben

√3 = pq,   p, q ∈ ℕ,  ggT(p, q) = 1.

Wir quadrieren und formen um: 3q2 = p2. Wir sehen, dass 3 die Zahl p2 teilt, also teilt 3 auch p (nach der vorigen Aufgabe). Setzen wir p = 3k mit k ∈ ℕ. Dann ist 3q2 = 9k2, also q2 = 3k2. Daraus folgt, dass 3 die Zahl q2 teilt und damit auch q.

Das widerspricht der Annahme, dass p und q teilerfremd sind. Also ist √3 irrational. Analog gehen wir bei √2 vor (statt der Teilbarkeit durch drei verwenden wir gerade und ungerade Zahlen).

Für Neugierige: der Satz des Pythagoras als Bild
c² ab a²b² ab
Beide Quadrate haben die Seitenlänge a + b und enthalten dieselben vier Dreiecke. Was übrig bleibt, hat daher denselben Flächeninhalt: c2 = a2 + b2.

Quelle und weitere Beweise in Bildern (auf Englisch): Pythagoras.

IV

FormelEine Zahl, die kein Bruch ist.

KONTRAPOSITION UND WIDERSPRUCHSBEWEIS

(¬B ⇒ ¬A)  ⇔  (A ⇒ B)

√2, √3 ∉ ℚ

Was sich nicht ausprobieren lässt, muss bewiesen werden.

STATION IV · UM 300 V. CHR. · ALEXANDRIA

Euklid: Wie man die ganze Mathematik aufbaut

Euklid von Alexandria

I

FrageMuss man alles beweisen?

Warum ist es wichtig, dass wir manche Aussagen ohne Beweis annehmen? Was würde passieren, wenn wir jede Aussage aus anderen Aussagen beweisen wollten?

Antwort aufdecken

Ein Beweis ist die Herleitung einer Aussage aus anderen Aussagen. Wollten wir wirklich alles beweisen, landeten wir bei einer von drei Möglichkeiten:

  1. eine unendliche Kette: Jede Aussage bräuchte einen Beweis aus einer weiteren, diese wieder aus einer weiteren und so fort bis ins Unendliche, sodass wir nie anfangen könnten;
  2. ein Kreis: Wir würden A mithilfe von B und B mithilfe von A beweisen und hätten in Wirklichkeit nichts bewiesen;
  3. anhalten bei einigen Aussagen, die wir ohne Beweis annehmen. Das sind eben die Axiome.

Der einzige gangbare Weg ist also der dritte: sich auf eine kleine Zahl einfacher Grundaussagen (Axiome, Postulate) zu einigen und alles Übrige logisch daraus herzuleiten. Die Axiome werden so gewählt, dass sie möglichst einfach sind, einander nicht widersprechen und sich viel aus ihnen herleiten lässt.

II

MenschDer Autor des einflussreichsten Mathematikbuchs.

Um 300 v. Chr. verfasste Euklid in Alexandria das Werk Elemente (Elementa). Es ist wohl das einflussreichste Mathematikbuch der Geschichte.

In den Elementen finden wir zum Beispiel den Satz des Pythagoras, den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, oder einen Beweis der Irrationalität (in späterer Fassung). Und auch den Beweis des Satzes des Thales aus der vorigen Station (Buch III, Proposition 31).

III

IdeeDas axiomatische System.

Neu war die Idee, dass sich die ganze Geometrie (und noch einiges mehr) so darstellen lässt:

  1. Wir gehen von einigen Definitionen und Axiomen (Postulaten) aus, die wir nach Vereinbarung ohne Beweis annehmen (z. B. dass durch zwei Punkte genau eine Gerade geht),
  2. weitere Aussagen beweisen wir dann in logischen Schritten aus denen, die wir schon kennen.

So entstand das sogenannte axiomatische System.

Ein Axiom ist dabei keine „Wahrheit, die man nicht anzweifeln darf“, sondern eine Vereinbarung über den Ausgangspunkt. Euklids fünftes Postulat (das Parallelenpostulat) erwies sich später als unabhängig von den übrigen, und indem man es abänderte, entstanden andere Geometrien (z. B. auf der Kugeloberfläche).

DIREKTER BEWEIS

Beweise, dass für alle positiven reellen Zahlen a, b gilt

a + b2 ≥ √ab

Tipp: Geh von der Ungleichung aus, die du beweisen willst, und gelange durch äquivalente Umformungen zu einer Aussage, die immer gilt. Kehre dann die Umformungen um.

Lösung

Wir gehen von der gegebenen Aussage aus und versuchen, aus ihr durch äquivalente Umformungen eine andere Aussage herzuleiten, von der wir wissen, dass sie wahr ist. Der eigentliche Beweis verläuft dann in umgekehrter Reihenfolge.

Da a und b positive Zahlen sind, ist das Quadrieren der Ungleichung eine äquivalente Umformung. So gelangen wir zur Ungleichung (a + b)2 ≥ 4ab. Durch Ausmultiplizieren der linken Seite und weiteres Umformen kommen wir zur Ungleichung

(a − b)2 ≥ 0,

die für alle a, b ∈ ℝ+ sicher gilt. Auch hier beruht der Beweis auf einer allgemeinen Aussage, nicht auf dem Ausprobieren von Zahlenpaaren.

IV

FormelDas arithmetische Mittel ist nie kleiner als das geometrische.

DIREKTER BEWEIS EINER UNGLEICHUNG

a + b2 ≥ √ab  ⇔  (a − b)2 ≥ 0

Gelten diese Axiome, so gilt auch dieser Satz.

STATION V · 16.–17. JAHRHUNDERT

Wie geht es weiter? Von den Griechen zur Induktion

Maurolico, Pascal und der kleine Gauß

I

FrageWie beweist man etwas für jedes n?

Berechne:

1 + 2 + ⋯ + 100 = ?

Die Summe 1 + 2 + ⋯ + n hast du gerade für n = 100 berechnet. Wie würdest du zeigen, dass die Formel für jedes n gilt? (Durch Ausprobieren geht es nicht, wie wir bei n2 + n + 41 gesehen haben.)

II

MenschMaurolico, Pascal – und der kleine Gauß.

Die griechische Mathematik konzentrierte sich vor allem auf die Geometrie. Für Beweise über Eigenschaften aller natürlichen Zahlen brauchen wir ein weiteres Werkzeug, die sogenannte vollständige Induktion. Ihre Anfänge finden sich schon in der Antike, in Indien und in der islamischen Welt, ausdrücklich formuliert und verwendet haben sie aber erst im 16.–17. Jahrhundert zum Beispiel Francesco Maurolico und Blaise Pascal.

Verbinden wir das mit der Geschichte vom kleinen Gauß: Der Anekdote nach sollte er in der Schule die Zahlen von 1 bis 100 addieren und antwortete sofort 5050.

Die Gauß-Geschichte ist eine Anekdote; sie ist nur durch Überlieferung belegt, und die Einzelheiten gehen auseinander. Mehr in Dějiny matematiky (auf Tschechisch; S. 46, im PDF S. 28).

III

IdeeEine Reihe fallender Dominosteine.

Stell dir eine Reihe von Dominosteinen vor: Der erste Stein fällt, und jeder Stein, der fällt, stößt den nächsten um. Dann fallen alle – und wir müssen nicht jeden einzeln anschauen. Genau so funktioniert die Induktion: Wir beweisen den ersten Schritt und dass aus jedem Schritt der nächste folgt.

Das Gauß-Rechteck

verschiebe den Regler
5

VOLLSTÄNDIGE INDUKTION

Beweise, dass für alle n ∈ ℕ gilt

1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)2

Überlege dir, was du im ersten Schritt und was im zweiten zeigen musst.

Lösung

(a) Für n = 1 erhalten wir 1 = 1 · 22, und das stimmt.

(b) Nehmen wir an, dass für n gilt: 1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)2. Wir wollen beweisen, dass die Formel auch für n + 1 gilt:

1 + 2 + ⋯ + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)2

Wir setzen die Induktionsannahme ein:

n(n + 1)2 + (n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)2

Die Implikation A(n) ⇒ A(n + 1) ist wahr, also gilt auch die ursprünglich zu beweisende Aussage.

IV

FormelEin Werkzeug für Aussagen über alle natürlichen Zahlen.

VOLLSTÄNDIGE INDUKTION

1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)2

A(1)  ∧  [A(n) ⇒ A(n + 1)]  ⇒  A(n) für alle n ∈ ℕ

Der erste Stein fällt – und mit ihm alle anderen.

Was wir gesehen haben

Fünf Schritte von „es funktioniert“ zu „es muss so sein“.

  1. IMesopotamien: Verfahren, die funktionieren, an Beispielen überprüft.
  2. IIThales: die Frage, warum es gilt; direkter Beweis.
  3. IIIPythagoreer: √2, die wir ohne Beweis nie entdeckt hätten; Beweis durch Kontraposition und Widerspruchsbeweis.
  4. IVEuklid: Axiome und logisches Herleiten; direkter Beweis einer Ungleichung.
  5. VInduktion: ein Werkzeug für Aussagen über alle natürlichen Zahlen.

Zum Üben und für Neugierige

Nach Unterlagen von M. Vestenická, Proč dokazujeme? Cesta historií důkazů (Warum beweisen wir? Eine Reise durch die Geschichte des Beweises, 2026). Wo eine historische Aussage umstritten ist, wird ausdrücklich gesagt, dass es sich um Überlieferung oder Vermutung handelt.

ENDE DES KAPITELS ÜBER BEWEISE

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