Kapitel III
Funktionen
Wie Mathematiker hundert Jahre lang über ein einziges Wort stritten
MDCCXVIII
Funktion einer veränderlichen Größe nenne ich eine Größe, die auf irgendeine Weise aus dieser veränderlichen Größe und Konstanten zusammengesetzt ist.
Johann Bernoulli, 1718 (frei übersetzt)
Die Frage
Ein Wort, das du seit der Grundschule benutzt. Aber weißt du, was es bedeutet?
In der Oberstufe sind Funktionen überall: linear, quadratisch, exponentiell, trigonometrisch. Wir zeichnen ihre Graphen, suchen Definitionsbereiche, berechnen Schnittpunkte. Bevor wir aber anfangen, versuch eine einfache Frage zu beantworten. Wähle, was dir als Erstes einfällt – richtig oder falsch gibt es hier nicht.
Was ist eine Funktion?
Wähle eine Antwort. Du kannst mehrere ausprobieren.
Eine Funktion ist ein Graph
so sahen es Leibniz und die BernoullisDas ist ein Graph. Ist es eine Funktion?
DER KREIS x² + y² = 1 ist ein schöner Graph, aber keine Funktion: Zur Zahl x = 0 gehören gleich zwei Werte, y = 1 und y = −1. Die gestrichelte senkrechte Gerade schneidet den Kreis zweimal.
Ein Graph ist also nicht dasselbe wie eine Funktion. Und umgekehrt: Wir werden Funktionen sehen, deren Graph sich gar nicht zeichnen lässt.
Eine Funktion ist ein algebraischer Ausdruck
Johann Bernoulli 1718, Euler 1748Eine Torsionsfeder mit Anschlag: Das Moment wächst mit dem Winkel, überschreitet aber nie ±4 N·m.
Das hat nicht eine Formel, sondern drei. Ist es also keine Funktion?
ES IST EINE FUNKTION. Jedem Winkel θ entspricht genau ein Moment T(θ). Auf die Anzahl der Formeln kommt es nicht an.
Euler behauptete 1748 noch, eine Funktion sei ein „analytischer Ausdruck“. Sieben Jahre später, 1755, schrieb er seine Definition um, weil ihm die Physik – die schwingende Saite – Formen gebracht hatte, die sich nicht mit einer einzigen Formel schreiben ließen.
Und eine kleine Fangfrage: |x| = √(x²). Ist das eine Formel oder zwei Stücke von Geraden?
Eine Funktion ist eine stetige Kurve
Euler 1748Hier ist ein Sprung. Ohne den Stift abzusetzen, zeichnest du das nicht. Ist es also keine Funktion?
ES IST EINE FUNKTION. Links von null hat sie den Wert 0, ab null nach rechts den Wert 1. Der volle Punkt zeigt, wohin die Null selbst gehört – jedes x hat genau einen Wert.
Vorsicht, Falle: Wenn Euler von einer „stetigen“ Kurve schrieb, meinte er eine Kurve, die durch einen einzigen Ausdruck gegeben ist. Eine aus Stücken zusammengesetzte Kurve nannte er „unstetig“, auch wenn man sie in einem Zug zeichnen konnte. Die Feder aus der vorigen Wahl wäre bei ihm „unstetig“ gewesen. Die heutige Bedeutung der Stetigkeit führten erst Bolzano und Cauchy um 1820 ein.
Eine Funktion ist eine unendliche Reihe
Lagrange 1797f(x) = e−1/x², f(0) = 0
Eine glatte Kurve – und ihre Reihe bei null besteht nur aus Nullen. Ist es eine Funktion?
ES IST EINE FUNKTION. Lagrange wollte 1797 die ganze Analysis darauf aufbauen, dass sich jede Funktion in eine Potenzreihe entwickeln lässt: a0 + a1x + a2x² + … Die Ableitungen wären dann nur noch die Koeffizienten.
Cauchy zeigte 1822 diese Funktion: Alle ihre Ableitungen bei null sind null, also ist ihre Reihe 0 + 0x + 0x² + … = 0. Die Funktion selbst ist aber nicht null. Die Reihe bestimmt die Funktion also nicht eindeutig.
Eine Funktion ist eine Beziehung zweier Größen
Euler 1755x = y²
Zwischen x und y besteht eine klare Beziehung. Ist es also eine Funktion?
NEIN. Für x = 4 erhalten wir y = 2 und auch y = −2. Die Beziehung ist da, aber eine Bedingung fehlt: die Eindeutigkeit.
Euler war 1755 schon sehr nah dran. Er schrieb: Wenn gewisse Größen so von anderen abhängen, dass sich mit der Änderung der zweiten auch die ersten ändern, nennt man die ersten Funktionen der zweiten. Was ohne die Bedingung der Eindeutigkeit entsteht, nennen wir heute eine Relation. Darauf kommen wir auf dem Schachbrett zurück.
Eine Funktion ist eine Maschine
das heutige SchulbildDiese Maschine hat einen Eingang – eine Zahl von 1 bis 6 – und einen Ausgang. Gib eine Drei hinein.
Du gibst dieselbe Zahl ein, und jedes Mal kommt eine andere heraus. Ist es eine Funktion?
NEIN. Eine Maschine, die auf dieselbe Eingabe jedes Mal etwas anderes zurückgibt, ist ein Spielwürfel, keine Funktion. Eine Funktion muss auf dieselbe Eingabe immer gleich antworten.
Das Bild der Maschine ist aber nicht schlecht. Von allen Möglichkeiten kommt es der heutigen Definition am nächsten: Eine Funktion ist eine Zuordnung. Es ist egal, ob wir sie durch eine Formel, einen Graphen, eine Tabelle oder mit Worten angeben.
Die Menschen
Hundert Jahre voller Streit, Briefe und Korrekturen. Hätten sie einen Gruppenchat gehabt, hätte er wohl so ausgesehen.
Das Wort Funktion hat Leibniz erfunden. Dann griffen es die Bernoullis, Euler, d'Alembert, Lagrange, Fourier, Cauchy und viele andere auf – und jeder meinte damit etwas ein wenig anderes. Am heftigsten entbrannte der Streit an einer ganz gewöhnlichen Sache: an einer schwingenden Saite.
Funktion ❦ Gruppe
1673–1921- Leibniz1673–1694
Ich probiere das Wort functio für Strecken aus, die an einer Kurve „eine Funktion erfüllen“ – Tangenten, Normalen, Ordinaten…
- Johann Bernoulli1718
Ich schlage etwas Allgemeineres vor: Funktion einer Veränderlichen nenne ich eine Größe, die auf irgendeine Weise aus dieser Veränderlichen und Konstanten zusammengesetzt ist.
- Euler1748
Einverstanden. Eine Funktion ist ein analytischer Ausdruck. Und eine Kurve nenne ich stetig, wenn sie durch einen einzigen Ausdruck gegeben ist. Besteht sie aus Stücken verschiedener Ausdrücke, ist sie unstetig.
- d'Alembert1747
Ich habe die schwingende Saite gelöst. Die Lösung muss durch einen einzigen analytischen Ausdruck gegeben sein, sonst ist es keine Mathematik.
- Euler1749
Aber die Saite kann ich am Anfang mit der Hand formen, zum Beispiel zu einem „Dächlein“! Solche Formen müssen wir zulassen, auch wenn sie keine einzelne Formel haben.
-
☞ Ist das eine Funktion? Eine Saite, in der Mitte mit dem Finger angehoben.
Heute ohne Zögern: ja. Jedem Punkt der Saite gehört eine Auslenkung. Für d'Alembert war das aber nicht zulässig – für das Dächlein braucht man zwei Formeln.
- d'Alembert1750
Das lehne ich ab. Solche „willkürlichen Kurven“ gehören nicht in die Analysis.
- Daniel Bernoulli1753
Meine Herren, jede Schwingung ist eine Summe von Sinuskurven. Eine unendliche Reihe genügt.
- Euler1755
Ich passe meine Definition an: Wenn gewisse Größen so von anderen abhängen, dass sich mit der Änderung der zweiten auch die ersten ändern, nennt man die ersten Funktionen der zweiten. Eine Formel ist nicht mehr nötig.
- d'Alembert1754–1757
In der Enzyklopädie habe ich den Grenzwert schon 1754 im Artikel Différentiel erklärt. Der Artikel Fonction kam erst 1757. Der Grenzwert stand in der Enzyklopädie früher als die Funktion!
- Lagrange1797
Ich schlage vor, die ganze Analysis auf Reihen aufzubauen. Jede Funktion entwickeln wir in eine Potenzreihe, und die Ableitungen sind nur ihre Koeffizienten.
- Fourier1807
Und ich behaupte, dass ich sogar eine „willkürliche“ Funktion, ruhig auch mit Sprüngen, als Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen schreiben kann.
- Cauchy1821–1822
Ich führe eine ordentliche Stetigkeit ein: Eine kleine Änderung von x bewirkt eine kleine Änderung von y. Und, Monsieur Lagrange – e−1/x² hat bei null eine Reihe aus lauter Nullen und ist trotzdem nicht null. Die Reihe bestimmt die Funktion nicht.
- Dirichlet1829–1837
Eine Funktion liegt vor, wenn jedem x ein bestimmtes y entspricht, gleichgültig, wie diese Zuordnung gegeben ist. Beispiel: 1 für rationale Zahlen, 0 für irrationale. Versucht mal, das zu zeichnen!
- Weierstraß1872
Ich bringe eine Funktion, die überall stetig ist, aber in keinem Punkt eine Ableitung hat.
- CHHermite1893
Mit Schrecken und Grauen wende ich mich ab von dieser beklagenswerten Plage – stetigen Funktionen ohne Ableitung.
- HPPoincaré1899
Früher erfand man neue Funktionen zu einem nützlichen Zweck. Heute erfindet man sie, um die Fehler in den Überlegungen unserer Väter zu zeigen. Die Logik bringt Monster hervor.
- Dedekind1888
Ich spreche allgemein von einer Abbildung einer Menge in eine andere. Eine Funktion ist nur ein Sonderfall.
- FHHausdorff und Kuratowski1914–1921
Und eine Abbildung ist einfach eine Menge geordneter Paare. Das Paar (a, b) können wir sogar rein mit Mengen definieren.
Die Repliken sind frei nacherzählte Standpunkte, keine wörtlichen Zitate. Die Jahreszahlen entsprechen den Quellen.
Wer kämpfte auf dem Feld der Funktionen?
Elf Männer, zwei Jahrhunderte, ein Begriff. Geh ihren Weg ab – klick auf ein Porträt.
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646–1716, Leipzig und Hannover
Zusammen mit Newton schuf er die Differentialrechnung. Das Wort functio taucht in seinen Handschriften um 1673 auf, im Druck in den Jahren 1692–1694. Aus seinen Briefen mit Johann Bernoulli (1694–1698) ging die Bedeutung „eine von einer Veränderlichen abhängige Größe“ hervor.
Seine Schreibweise dx und ∫ verwenden wir bis heute.
Johann Bernoulli 1667–1748, Basel
Eulers Lehrer. 1696 stellte er Europa das Problem der Brachistochrone – der Kurve des schnellsten Falls. 1718 veröffentlichte er die erste allgemeine Definition der Funktion.
Funktionen schrieb er mit einem griechischen Buchstaben: φx.
Leonhard Euler 1707–1783, Basel, Sankt Petersburg, Berlin
Er führte die Schreibweise f(x) ein (1734, im Druck 1740). In der Introductio in analysin infinitorum (1748) versteht er die Funktion als analytischen Ausdruck, in den Institutiones calculi differentialis (1755) schon als Abhängigkeit von Größen.
Einen großen Teil seines Werks schrieb er fast blind. Auch er brauchte sieben Jahre Nachdenken über die Funktion.
Jean le Rond d'Alembert 1717–1783, Paris
Als Neugeborenes wurde er auf den Stufen der Kirche Saint-Jean-le-Rond ausgesetzt, daher sein Name. Mit Diderot gab er die Enzyklopädie heraus und war für Mathematik und Naturwissenschaft zuständig. 1747 leitete er die Wellengleichung her und vertrat die Ansicht, eine Funktion sei ein einziger Ausdruck.
Den Grenzwert nannte er „die wahre Metaphysik der Differentialrechnung“.
Daniel Bernoulli 1700–1782, Basel
Johanns Sohn. 1753 behandelte er die Saite als Summe von Sinuskurven. Berühmt wurde er vor allem in der Hydrodynamik (Bernoulli-Gleichung).
Joseph-Louis Lagrange 1736–1813, Turin, Berlin, Paris
Im Buch Théorie des fonctions analytiques (1797) verstand er die Funktion als Potenzreihe. Er führte die Schreibweise f′(x) ein.
Joseph Fourier 1768–1830, Auxerre, Grenoble, Paris
Er untersuchte die Ausbreitung der Wärme und behauptete, jede beliebige Funktion lasse sich als Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen schreiben (1807, Buch 1822). Damit fachte er den Streit darüber, was eine „willkürliche“ Funktion ist, von Neuem an.
Er begleitete Napoleon auf dem Feldzug nach Ägypten.
Augustin-Louis Cauchy 1789–1857, Paris
Im Cours d'analyse (1821) definierte er Grenzwert und Stetigkeit präzise. Mit der Funktion e−1/x² (1822) zeigte er, dass Lagranges Auffassung „Funktion = Reihe“ nicht haltbar ist.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805–1859, Berlin, Göttingen
1829 beschrieb er eine Funktion, die in keinem Punkt stetig ist. 1837 definierte er die Funktion als beliebige eindeutige Zuordnung.
Karl Weierstraß 1815–1897, Berlin
Lange unterrichtete er an einem Gymnasium, bevor er Professor wurde. 1872 stellte er der Berliner Akademie eine stetige Funktion ohne Ableitung vor. Im Druck veröffentlichte sie 1875 sein Kollege du Bois-Reymond.
Richard Dedekind 1831–1916, Braunschweig
Im Buch Was sind und was sollen die Zahlen? (1888) führte er den allgemeinen Begriff der Abbildung zwischen beliebigen Mengen ein.
Monster
Sobald eine Funktion keine Formel haben muss, kann sie alles sein. Wirklich alles?
Dirichlets Definition ließ Funktionen mit Sprüngen und Löchern zu, sogar Funktionen, die sich nicht zeichnen lassen. Probier es selbst: Entscheide bei jedem Bild, ob es der Graph einer Funktion ist.
1. Hyperbel
Ja. Ein Loch bei null heißt nicht, dass es keine Funktion ist. Die Null gehört einfach nicht zum Definitionsbereich.
2. Der Bibliotheksschalter
Nein. Um 11:00 zeigt der Graph zwei Werte gleichzeitig. Auf beiden Höhen liegen volle Punkte.
3. Die Dirichlet-Funktion
Ein Graph fehlt hier absichtlich – versuch, ihn dir vorzustellen.
Ja. Sie ordnet jeder Zahl genau einen Wert zu: rationalen die 1, irrationalen die 0. Eine Funktion ist es, auch wenn sie nur als Vorschrift existiert. Zeichnen lässt sie sich nicht: Zwischen je zwei Zahlen liegen rationale und irrationale, also wäre die „Linie“ auf Höhe 1 und auf Höhe 0 überall dicht und trotzdem überall löchrig. Jedes Bild würde lügen.
4. Sinus von eins durch x
Ja. Nahe null schwingt sie unendlich schnell, aber jedes x ≠ 0 hat einen Wert.
Das Weierstraß-Monster
1872W(x) = Σ (½)n cos(13nπx). Vergrößere, so weit du willst – die Kurve wird nie glatt. Sie ist stetig und hat trotzdem in keinem Punkt eine Tangente.
„Mit Schrecken und Grauen wende ich mich ab von dieser beklagenswerten Plage der stetigen Funktionen, die keine Ableitung haben.“Charles Hermite in einem Brief an Stieltjes, 1893
„Die Logik bringt manchmal Monster hervor.“Henri Poincaré, 1899
Die Pointe zum Schluss: 1931 bewies Banach, dass eine „typische“ stetige Funktion genau so ein Monster ist. Die glatten Funktionen aus der Schule sind in Wirklichkeit eine seltene Ausnahme.
Eine Funktion ist…
Wir vollenden diesen Satz auf dem Schachbrett.
Nach all diesen Streitigkeiten kam die Mathematik zu einer überraschend einfachen Antwort. Sie braucht weder Formel noch Graph noch Stetigkeit, nur Paare und eine einzige Regel. Wir zeigen sie auf dem Schachbrett.
Das Schachbrett
Schritt 1 von 3Woher die Abbildung kam
- 1718Johann Bernoulli: Eine Funktion ist eine aus einer Veränderlichen und Konstanten zusammengesetzte Größe.
- 1755Euler: Eine Funktion ist die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen.
- 1837Dirichlet: Eine Funktion ist eine beliebige eindeutige Zuordnung.
- 1888Dedekind führt den allgemeinen Begriff der Abbildung ein.
- 1914Hausdorff: Eine Abbildung ist eine Menge geordneter Paare.
- 1921Kuratowski definiert das geordnete Paar rein mit Mengen.
- 1939Bourbaki – und dank ihm gelangt diese Definition in die Schulen.
EINE FUNKTION IST
eine Zuordnung, die jedem Element x des Definitionsbereichs genau ein Element y zuordnet.
f ⊆ A × B, ∀x ∈ A ∃! y ∈ B: (x, y) ∈ f
Wofür Euler sieben Jahre und die Mathematik zweihundert brauchte, schreiben wir heute in eine Zeile.
Und deine Antwort vom Anfang?
- GraphJede Funktion hat einen Graphen, aber nicht jeder Graph ist eine Funktion (der Kreis). Manche Graphen lassen sich nicht einmal zeichnen (Dirichlet).
- FormelEine Formel ist nur eine der Möglichkeiten, eine Zuordnung anzugeben. Die Feder hat drei Formeln und ist trotzdem eine einzige Funktion.
- Stetige KurveStetigkeit ist eine Eigenschaft, die eine Funktion haben kann, aber nicht muss. Und auch eine stetige Funktion kann ein Monster sein (Weierstraß).
- ReiheViele Funktionen lassen sich in eine Reihe entwickeln, aber die Reihe bestimmt sie nicht immer (Cauchy).
- BeziehungFast richtig. Es fehlte nur die Eindeutigkeit: Eine Beziehung mit ihr ist eine Funktion, ohne sie eine Relation.
- MaschineRichtig, solange die Maschine auf dieselbe Eingabe immer gleich antwortet.
Wenn dir in der Mathematik etwas nicht sofort klar ist, macht das nichts. Grübeln gehört dazu – selbst Euler hat es ein paar Jahre gekostet.
ENDE DES KAPITELS
Quellen: A. P. Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, 1976; I. Kleiner, Evolution of the function concept: a brief survey, 1989; MacTutor History of Mathematics; Encyclopédie (ARTFL, University of Chicago).
Zurück zum Inhaltsverzeichnis