Kapitola III
Funkce
Kterak se matematici sto let přeli o jedno slovo
MDCCXVIII
Funkcí proměnné veličiny nazývám veličinu složenou jakýmkoli způsobem z této proměnné a konstant.
Johann Bernoulli, 1718 (volně přeloženo)
Otázka
Slovo, které používáš od základní školy. Víš ale, co znamená?
Funkce je na střední škole všude: lineární, kvadratická, exponenciální, goniometrická. Kreslíme jejich grafy, hledáme definiční obory, počítáme průsečíky. Než ale začneme, zkus odpovědět na jednoduchou otázku. Vyber, co tě napadne jako první – správně nebo špatně tu není nic.
Co je funkce?
Vyber odpověď. Můžeš jich vyzkoušet víc.
Funkce je graf
tak to viděli Leibniz a BernoulliovéTohle je graf. Je to funkce?
KRUŽNICE x² + y² = 1 je krásný graf, ale funkce to není: k číslu x = 0 patří hned dvě hodnoty, y = 1 i y = −1. Přerušovaná svislá přímka protne kružnici dvakrát.
Graf tedy není totéž co funkce. A naopak: uvidíme funkce, jejichž graf nakreslit vůbec nejde.
Funkce je algebraický výraz
Johann Bernoulli 1718, Euler 1748Torzní pružina s pojistkou: moment roste s úhlem, ale nikdy nepřekročí ±4 N·m.
Tohle nemá jeden vzorec, má tři. Není to tedy funkce?
JE TO FUNKCE. Každému úhlu θ odpovídá právě jeden moment T(θ). Na počtu vzorců nezáleží.
Euler v roce 1748 ještě tvrdil, že funkce je „analytický výraz“. O sedm let později, v roce 1755, svou definici přepsal, protože fyzika – kmitající struna – mu přinesla tvary, které jedním vzorcem zapsat nešly.
A malý chyták: |x| = √(x²). Je to jeden vzorec, nebo dva kusy přímek?
Funkce je spojitá křivka
Euler 1748Tady je skok. Bez zvednutí tužky to nenakreslíš. Není to funkce?
JE TO FUNKCE. Nalevo od nuly má hodnotu 0, od nuly napravo hodnotu 1. Plný bod ukazuje, kam patří samotná nula – každé x má právě jednu hodnotu.
Pozor na past: když Euler psal o „spojité“ křivce, myslel tím křivku danou jedním výrazem. Křivku složenou z kusů nazýval „nespojitou“, i když ji šlo nakreslit jedním tahem. Pružina z předchozí volby by u něj byla „nespojitá“. Dnešní význam spojitosti zavedli až Bolzano a Cauchy kolem roku 1820.
Funkce je nekonečná řada
Lagrange 1797f(x) = e−1/x², f(0) = 0
Hladká křivka – a její řada v nule je samé nuly. Je to funkce?
JE TO FUNKCE. Lagrange chtěl v roce 1797 celou analýzu postavit na tom, že každou funkci lze rozvinout do mocninné řady a0 + a1x + a2x² + … Derivace by pak byly jen koeficienty.
Cauchy v roce 1822 ukázal tuhle funkci: všechny její derivace v nule jsou nulové, takže její řada je 0 + 0x + 0x² + … = 0. Jenže funkce sama nulová není. Řada tedy funkci jednoznačně neurčuje.
Funkce je vztah dvou veličin
Euler 1755x = y²
Mezi x a y je jasný vztah. Je to tedy funkce?
NENÍ. Pro x = 4 dostaneme y = 2 i y = −2. Vztah je tu, ale chybí jedna podmínka: jednoznačnost.
Euler byl v roce 1755 už velmi blízko. Napsal, že když jedny veličiny závisí na jiných tak, že se se změnou druhých mění i první, nazýváme první funkcemi druhých. Dnes tomu, co vznikne bez podmínky jednoznačnosti, říkáme relace. K tomu se vrátíme na šachovnici.
Funkce je stroj
dnešní školní obrázekTenhle stroj má vstup – číslo od 1 do 6 – a výstup. Vlož do něj trojku.
Vložíš stejné číslo a pokaždé vypadne jiné. Je to funkce?
NENÍ. Stroj, který na stejný vstup vrací pokaždé něco jiného, je hrací kostka, ne funkce. Funkce musí na stejný vstup odpovědět vždy stejně.
Obrázek stroje ale není špatný. Ze všech možností je nejblíž dnešní definici: funkce je přiřazení. Nezáleží na tom, jestli ho dáme vzorcem, grafem, tabulkou, nebo slovy.
Lidé
Sto let sporů, dopisů a oprav. Kdyby měli skupinový chat, vypadal by asi takhle.
Slovo funkce vymyslel Leibniz. Pak se ho chopili Bernoulliové, Euler, d'Alembert, Lagrange, Fourier, Cauchy a mnozí další – a každý pod ním myslel trochu něco jiného. Hádka nejvíc vzplanula kolem docela obyčejné věci: kmitající struny.
Funkce ❦ skupina
1673–1921- Leibniz1673–1694
Zkouším slovo functio pro úsečky, které „plní funkci“ u křivky – tečny, normály, pořadnice…
- Johann Bernoulli1718
Navrhuji obecněji: funkcí proměnné nazývám veličinu složenou jakýmkoli způsobem z této proměnné a konstant.
- Euler1748
Souhlasím. Funkce je analytický výraz. A křivku nazývám spojitou, když je dána jedním výrazem. Když ji tvoří kusy různých výrazů, je nespojitá.
- d'Alembert1747
Vyřešil jsem kmitání struny. Řešení musí být dané jedním analytickým výrazem, jinak to není matematika.
- Euler1749
Strunu ale můžu na začátku vytvarovat rukou, třeba do „stříšky“! Takové tvary musíme připustit, i když nemají jeden vzorec.
-
☞ Je tohle funkce? Struna zvednutá prstem uprostřed.
Dnes bez váhání: je. Každému bodu struny patří jedna výchylka. Pro d'Alemberta to ale přípustné nebylo – na stříšku potřebuješ dva vzorce.
- d'Alembert1750
To odmítám. Takové „libovolné křivky“ do analýzy nepatří.
- Daniel Bernoulli1753
Pánové, každé kmitání je součet sinusovek. Stačí nekonečná řada.
- Euler1755
Upravuji svou definici: když jedny veličiny závisí na jiných tak, že se se změnou druhých mění i první, nazýváme první funkcemi druhých. Vzorec už nutný není.
- d'Alembert1754–1757
V Encyklopedii jsem limitu vysvětlil už v roce 1754 v hesle Différentiel. Heslo Fonction přišlo až v roce 1757. Limita byla v Encyklopedii dřív než funkce!
- Lagrange1797
Navrhuji postavit celou analýzu na řadách. Každou funkci rozvineme do mocninné řady a derivace jsou jen její koeficienty.
- Fourier1807
A já tvrdím, že i „libovolnou“ funkci, klidně se skoky, zapíšu jako řadu sinů a kosinů.
- Cauchy1821–1822
Zavádím pořádnou spojitost: malá změna x způsobí malou změnu y. A pane Lagrange – e−1/x² má v nule řadu samých nul, a přece nulová není. Řada funkci neurčuje.
- Dirichlet1829–1837
Funkce je, když každému x odpovídá jedno určité y, ať je to přiřazení dané jakkoli. Příklad: 1 pro racionální čísla, 0 pro iracionální. Zkuste si to nakreslit!
- Weierstrass1872
Přináším funkci, která je všude spojitá, ale nemá derivaci v žádném bodě.
- CHHermite1893
S hrůzou se odvracím od té politováníhodné rány – spojitých funkcí bez derivace.
- HPPoincaré1899
Dřív se nové funkce vymýšlely kvůli užitku. Dnes se vymýšlejí, aby ukázaly chyby v úvahách našich otců. Logika plodí monstra.
- Dedekind1888
Mluvím obecně o zobrazení jedné množiny do druhé. Funkce je jen zvláštní případ.
- FHHausdorff a Kuratowski1914–1921
A zobrazení je prostě množina uspořádaných dvojic. Dvojici (a, b) umíme definovat i čistě pomocí množin.
Repliky jsou volně převyprávěné postoje, nejde o doslovné citáty. Letopočty odpovídají pramenům.
Kdo bojoval na poli funkcí?
Jedenáct mužů, dvě století, jeden pojem. Projdi jejich cestu – klikni na portrét.
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646–1716, Lipsko a Hannover
Spolu s Newtonem stvořil diferenciální počet. Slovo functio se objevuje v jeho rukopisech kolem roku 1673 a tiskem v letech 1692–1694. Z dopisů s Johannem Bernoullim (1694–1698) vzešel význam „veličina závislá na proměnné“.
Jeho značení dx a ∫ používáme dodnes.
Johann Bernoulli 1667–1748, Basilej
Eulerův učitel. V roce 1696 zadal Evropě úlohu o brachistochroně – křivce nejrychlejšího pádu. V roce 1718 publikoval první obecnou definici funkce.
Funkce zapisoval řeckým písmenem: φx.
Leonhard Euler 1707–1783, Basilej, Petrohrad, Berlín
Zavedl zápis f(x) (1734, tiskem 1740). V Introductio in analysin infinitorum (1748) bere funkci jako analytický výraz, v Institutiones calculi differentialis (1755) už jako závislost veličin.
Velkou část svého díla napsal téměř slepý. I on potřeboval na funkci sedm let přemýšlení.
Jean le Rond d'Alembert 1717–1783, Paříž
Jako novorozence ho odložili na schodech kostela Saint-Jean-le-Rond, odtud jeho jméno. S Diderotem vydával Encyklopedii a měl na starost matematiku a vědu. V roce 1747 odvodil vlnovou rovnici a hájil názor, že funkce je jeden výraz.
Limitu nazval „pravou metafyzikou diferenciálního počtu“.
Daniel Bernoulli 1700–1782, Basilej
Syn Johanna. V roce 1753 řešil strunu jako součet sinusovek. Proslul hlavně v hydrodynamice (Bernoulliho rovnice).
Joseph-Louis Lagrange 1736–1813, Turín, Berlín, Paříž
V knize Théorie des fonctions analytiques (1797) chápal funkci jako mocninnou řadu. Zavedl zápis f′(x).
Joseph Fourier 1768–1830, Auxerre, Grenoble, Paříž
Studoval šíření tepla a tvrdil, že libovolnou funkci lze zapsat jako řadu sinů a kosinů (1807, kniha 1822). Tím spor o to, co je „libovolná“ funkce, znovu rozdmýchal.
Doprovázel Napoleona na výpravě do Egypta.
Augustin-Louis Cauchy 1789–1857, Paříž
V Cours d'analyse (1821) přesně definoval limitu a spojitost. Funkcí e−1/x² (1822) ukázal, že Lagrangeovo pojetí „funkce = řada“ neobstojí.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805–1859, Berlín, Göttingen
V roce 1829 popsal funkci, která není spojitá v žádném bodě. V roce 1837 definoval funkci jako libovolné jednoznačné přiřazení.
Karl Weierstrass 1815–1897, Berlín
Dlouho učil na gymnáziu, než se stal profesorem. V roce 1872 předvedl Berlínské akademii spojitou funkci bez derivace. Tiskem ji v roce 1875 zveřejnil jeho kolega du Bois-Reymond.
Richard Dedekind 1831–1916, Braunschweig
V knize Was sind und was sollen die Zahlen? (1888) zavedl obecný pojem zobrazení (Abbildung) mezi libovolnými množinami.
Monstra
Jakmile funkce nemusí mít vzorec, může být cokoli. Opravdu cokoli?
Dirichletova definice připustila funkce se skoky, s dírami i funkce, které nejde nakreslit. Zkus to sám/sama: u každého obrázku rozhodni, jestli je to graf funkce.
1. Hyperbola
Je. Díra v nule neznamená, že nejde o funkci. Nula prostě nepatří do definičního oboru.
2. Přepážka v knihovně
Není. V 11:00 graf ukazuje dvě hodnoty zároveň. Plné body jsou na obou úrovních.
3. Dirichletova funkce
Graf tu schválně není – zkus si ho představit.
Je. Každému číslu přiřadí právě jednu hodnotu: racionálním 1, iracionálním 0. Funkce je to, i když má jen zápis. Nakreslit ji nejde: mezi každými dvěma čísly leží racionální i iracionální, takže by „čára“ ve výšce 1 i ve výšce 0 byla všude hustá, a přesto všude děravá. Každý obrázek by lhal.
4. Sinus jedné lomeno x
Je. U nuly kmitá nekonečně rychle, ale každé x ≠ 0 má jednu hodnotu.
Weierstrassovo monstrum
1872W(x) = Σ (½)n cos(13nπx). Přibližuj, jak chceš – křivka nikdy nezhladne. Je spojitá, a přesto v žádném bodě nemá tečnu.
„S hrůzou se odvracím od té politováníhodné rány spojitých funkcí, které nemají derivaci.“Charles Hermite v dopise Stieltjesovi, 1893
„Logika někdy plodí monstra.“Henri Poincaré, 1899
Pointa nakonec: v roce 1931 Banach dokázal, že „typická“ spojitá funkce je právě takové monstrum. Hladké funkce ze školy jsou ve skutečnosti vzácnou výjimkou.
Funkce je…
Dokončíme tu větu na šachovnici.
Po všech těch sporech přišla matematika na překvapivě jednoduchou odpověď. Nepotřebuje vzorec, graf ani spojitost, jen dvojice a jedno pravidlo. Ukážeme si ho na šachovnici.
Šachovnice
krok 1 ze 3Odkud se vzalo zobrazení
- 1718Johann Bernoulli: funkce je veličina složená z proměnné a konstant.
- 1755Euler: funkce je závislost jedné veličiny na druhé.
- 1837Dirichlet: funkce je libovolné jednoznačné přiřazení.
- 1888Dedekind zavádí obecný pojem zobrazení (Abbildung).
- 1914Hausdorff: zobrazení je množina uspořádaných dvojic.
- 1921Kuratowski definuje uspořádanou dvojici čistě pomocí množin.
- 1939Bourbaki – a díky němu tahle definice dorazí do škol.
FUNKCE JE
takové přiřazení, které každému prvku x z definičního oboru přiřadí právě jeden prvek y.
f ⊆ A × B, ∀x ∈ A ∃! y ∈ B: (x, y) ∈ f
Co Eulerovi trvalo sedm let a matematice dvě stě, dnes píšeme na jeden řádek.
A co tvoje odpověď z začátku?
- GrafKaždá funkce má graf, ale ne každý graf je funkce (kružnice). Některé grafy ani nakreslit nejde (Dirichlet).
- VzorecVzorec je jen jeden ze způsobů, jak přiřazení zadat. Pružina má tři vzorce, a přesto je to jedna funkce.
- Spojitá křivkaSpojitost je vlastnost, kterou funkce mít může, ale nemusí. A i spojitá funkce může být monstrum (Weierstrass).
- ŘadaMnoho funkcí do řady rozvinout jde, ale řada je neurčuje vždy (Cauchy).
- VztahSkoro správně. Chyběla jen jednoznačnost: vztah s ní je funkce, bez ní relace.
- StrojSprávně, pokud stroj na stejný vstup odpoví vždy stejně.
Pokud ti něco v matematice není hned jasné, nevadí. Dumání je součástí procesu – vždyť i Eulerovi to zabralo pár let.
KONEC KAPITOLY
Prameny: A. P. Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, 1976; I. Kleiner, Evolution of the function concept: a brief survey, 1989; MacTutor History of Mathematics; Encyclopédie (ARTFL, University of Chicago).
Zpět na obsah