Logarithmen

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Bevor der Logarithmus zu einer abstrakten Funktion im Lehrplan wurde, war er vor allem ein Werkzeug – eine schnelle Art zu rechnen. Bevor es Taschenrechner gab, mussten Astronomen, Seefahrer und Mathematiker vielstellige Zahlen von Hand multiplizieren und dividieren, und das war langsam und fehleranfällig. Der Logarithmus umgeht dieses Problem mit einem einzigen Trick: Er verwandelt die Multiplikation in eine Addition.

Probier es selbst. Addiere diese Zahlen schriftlich untereinander:

Die Addition dauert keine zwei Minuten. Versuche jetzt, dieselben sieben Zahlen miteinander zu multiplizieren – selbst mit einem Taschenrechner dauert das viel länger, und von Hand wären es Stunden mühsamer Arbeit.

Genau dieser Unterschied ist der Grund, warum der Logarithmus erfunden wurde. Gäbe es eine Tabelle, in der man zu jeder Zahl ihren „Logarithmus“ findet, müsste man nur die Logarithmen addieren und dann in der Tabelle nachschlagen, zu welcher Zahl die Summe gehört – das Ergebnis der Multiplikation, ohne ein einziges Mal zu multiplizieren.

John Napier

John Napier (1550–1617) war ein schottischer Mathematiker, Physiker, Astronom und Gutsherr aus Merchiston bei Edinburgh. Logarithmen waren für ihn eine Nebenbeschäftigung – seinen Lebensunterhalt bestritt er vor allem mit der Bewirtschaftung seines Guts, und er schrieb theologische Werke. In der Mathematik war er aber ungeheuer beharrlich: Den erhaltenen Quellen zufolge arbeitete er etwa zwanzig Jahre an seinem System der Logarithmen, bevor er es 1614 in dem Buch Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Beschreibung der wunderbaren Regel der Logarithmen) darlegte. Die Mathematiker seiner Zeit nahmen das Buch sofort mit Begeisterung auf.

Neben den Logarithmen ist Napier für die Erfindung der Napierschen Rechenstäbchen bekannt – einer mechanischen Hilfe beim Multiplizieren – und dafür, dass er die Schreibweise von Dezimalzahlen mit einem Dezimaltrennzeichen verbreiten half.

Arithmetische und geometrische Folgen

Um den Logarithmus „herzustellen“, musste Napier zwei Welten verbinden: die Welt der Multiplikation, in der Zahlen wachsen, indem man sie immer wieder mit derselben Zahl multipliziert, und die Welt der Addition, in der Zahlen wachsen, indem man immer wieder dieselbe Zahl addiert.

Geometrische Folge – jedes Mal mit derselben Zahl multiplizieren: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…

Jedes neue Glied entsteht, indem man das vorige mit derselben Zahl multipliziert, dem Quotienten q.

1, 3, 9, 27, 81… (q = 3)
64, 32, 16, 8, 4… (q = ½)

Arithmetische Folge – jedes Mal dieselbe Zahl addieren: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Jedes neue Glied entsteht, indem man zum vorigen dieselbe Zahl addiert, die Differenz d.

3, 7, 11, 15, 19… (d = 4)
20, 17, 14, 11, 8… (d = −3)

Schreibt man diese beiden Reihen Zeile für Zeile nebeneinander, passiert etwas Nützliches:

Du willst 8 × 32 rechnen? Suche 8 und 32 in der linken Spalte, lies rechts ihre „Partner“ ab (3 und 5), addiere sie (3 + 5 = 8) und suche in der linken Spalte die Zahl, deren Partner rechts das Ergebnis 8 ist: Es ist 256. Und tatsächlich gilt 8 × 32 = 256.

Mit derselben Tabelle kann man auch dividieren – statt die rechten Zahlen zu addieren, subtrahiert man sie – und Wurzeln ziehen, indem man die Zahl rechts durch den Wurzelexponenten teilt.

Diese Tabelle ist eigentlich eine Urform der Logarithmentafel: In der linken Spalte stehen die „Zahlen“, in der rechten ihre Logarithmen zur Basis 2.

Woher das Wort „Logarithmus“ kommt

Anfangs nannte Napier seine neuen Zahlen nicht Logarithmen. In der Handschrift, die wir heute als Constructio kennen, nannte er sie künstliche Zahlen, weil es Zahlen sind, die sich der Mathematiker selbst „herstellt“, um sich die Arbeit zu erleichtern, und nicht Zahlen, die unmittelbar etwas messen. Erst später, in der Descriptio, kam er auf einen neuen Namen: Logarithmus, zusammengesetzt aus zwei griechischen Wörtern – logos (Verhältnis, Wort, Rechnung) und arithmos (Zahl). Ein Logarithmus ist also wörtlich eine „Verhältniszahl“: eine Zahl, die ein Verhältnis ausdrückt, nämlich wie oft man mit der Basis multiplizieren muss.

Das Problem der Wahl der Basis

Unsere Tabelle der Zweierpotenzen (1, 2, 4, 8, 16…) eignet sich gut zur Veranschaulichung, ist für das praktische Rechnen aber unbrauchbar. Fast alle Zahlen fehlen darin – es gibt keine Zeile für 3, 5, 6, 7… Und je weiter man in der Tabelle nach unten geht, desto größer werden die Lücken zwischen den Zahlen (zwischen 128 und 256 fehlen 127 ganze Zahlen). Damit die Tabelle überhaupt nützlich ist, dürfen zwischen benachbarten Zahlen fast keine Lücken sein – und das bedeutet, eine Basis zu wählen, die sehr nahe bei 1 liegt.

Genau das tat Napier. Als Verhältnis benachbarter Glieder wählte er die Zahl 0,9999999 (sieben Neunen nach dem Komma) und als erste Zahl der Folge 10.000.000. Das zweite Glied ist 10.000.000 × 0,9999999 = 9.999.999 – nur um eins kleiner. Jeder weitere Schritt nimmt nur ein winziges Stück weg, sodass die Tabelle die Zahlen dicht und praktisch lückenlos abdeckt.

Wie er es schaffte, ohne 10 Millionen Zahlen zu berechnen

Hätte Napier auf diese Weise den Logarithmus jeder Zahl von 1 bis 10.000.000 berechnen wollen, hätte er Millionen von Multiplikationen von Hand ausführen müssen – ein Menschenleben hätte dafür nicht gereicht. Deshalb nutzte er ein geschickteres Verfahren: Statt einer riesigen Tabelle berechnete er drei kürzere, ineinander verschachtelte „Leitern“ von Zahlen.

Die erste Leiter hatte 101 Zahlen und verwendete das Verhältnis 0,9999999 (das aus dem vorigen Abschnitt). Die zweite Leiter hatte 51 Zahlen und einen etwas größeren Schritt, der aus dem Ende der ersten Leiter abgeleitet war. Die dritte Leiter war eine Tabelle mit 69 Zeilen und 21 Spalten und einem noch größeren Schritt. Indem er diese drei Leitern kombinierte und zwischen ihnen abschätzte, konnte Napier den Logarithmus praktisch jeder Zahl bestimmen, ohne alle 10 Millionen Werte einzeln berechnen zu müssen.

Trotzdem brauchte er dafür etwa zwanzig Jahre. Das Ergebnis beschrieb er 1614 in dem Buch Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Beschreibung der wunderbaren Regel der Logarithmen) – einem Buch, von dem man später sagte, es habe „die Welt von der Last des Rechnens befreit“.

Napiers genaues Verfahren ist mathematisch aufwendiger; dies ist eine vereinfachte, aber sachlich richtige Beschreibung des Prinzips. Quelle: D. Roegel, Napier’s ideal construction of the logarithms, 2012.