Nichteuklidische Geometrie

Was ist ein Punkt? Was ist eine Gerade?

Am Anfang stand Euklids Bestreben, das geometrische Wissen in einem Werk zusammenzufassen, den Elementen (um 300 v. Chr.; der Link führt zu einer tschechischen Übersetzung).

Euklid versuchte, die Grundbegriffe zu definieren, doch aus heutiger Sicht waren seine Definitionen eher anschaulich und philosophisch:

• einen Punkt definierte er als „das, was keine Teile hat“,
• eine Linie als „breitenlose Länge“.

Um seine Theorie aufbauen zu können, stellte er fünf Postulate auf:

1. Je zwei Punkte lassen sich durch eine Gerade verbinden. ausprobieren
2. Eine Strecke lässt sich unbegrenzt verlängern. ausprobieren
3. Man kann einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und beliebigem Radius zeichnen. ausprobieren
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich. ausprobieren
5. Schneidet eine Gerade zwei andere Geraden so, dass die Innenwinkel auf derselben Seite zusammen kleiner als zwei rechte sind, dann schneiden sich die beiden Geraden (genügend verlängert) auf dieser Seite. ausprobieren

Während die ersten vier als offensichtlich und einfach galten, ragte das fünfte Postulat (über die Parallelen) durch seine Kompliziertheit heraus. Euklid selbst vermied es, solange es ging, und verwendete es zum ersten Mal erst beim 29. Satz.

In der euklidischen Ebene beträgt die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks genau 180°. Probiere es aus; an den nächsten Stationen vergleichen wir das mit der Kugel und mit der hyperbolischen Ebene.

Ist das fünfte Postulat wirklich eine eigenständige Annahme, oder lässt es sich aus den ersten vier beweisen?

Jahrhundertelang glaubten die Mathematiker, es sei kein Axiom, sondern ein Satz, den man mithilfe der vorangehenden vier beweisen könne.

Zweitausend Jahre lang versuchte sich eine lange Reihe von Mathematikern an einem Beweis: Ptolemäus, Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Chayyam, Nasir ad-Din at-Tusi, John Wallis, Girolamo Saccheri, Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre und viele andere. Keiner der „Beweise“ hielt stand. Jedes Mal stellte sich heraus, dass der Autor irgendwo stillschweigend eine Aussage benutzt hatte, die dem fünften Postulat gleichwertig ist.

Diese Versuche brachten jedoch eine Reihe äquivalenter Formulierungen hervor. Die bekanntesten sind zwei:

Setzt man die ersten vier Postulate voraus, sind diese Aussagen dem fünften Postulat logisch äquivalent: Die Verneinung der einen führt zwangsläufig zur Widerlegung der anderen. Die entscheidende Voraussetzung ist jedoch die euklidische Ebene. Was geschieht, wenn wir sie verlassen und unsere Überlegungen zum Beispiel auf die Oberfläche einer Kugel übertragen?

Was, wenn die „Ebene“ kein flaches Blatt Papier ist, sondern die Oberfläche einer Kugel?

Modell. Die „Ebene“ ist die Oberfläche einer Kugel, die „Punkte“ sind Punkte auf ihr. Die Rolle der „Geraden“ übernehmen Großkreise (Link auf Tschechisch), d. h. die Schnitte der Kugel mit Ebenen durch ihren Mittelpunkt (Meridiane, der Äquator). Sie sind die kürzesten Verbindungen zwischen Punkten auf der Kugeloberfläche.

Das Postulat gilt nicht. Je zwei Großkreise schneiden sich, und zwar sogar in zwei gegenüberliegenden Punkten. Parallelen gibt es also überhaupt nicht.

Das Dreieck. Man kann sich leicht ein Dreieck aus zwei Meridianen und einem Stück des Äquators vorstellen. Die Meridiane schneiden den Äquator unter einem Winkel von 90°, also

α + β + γ = 90° + 90° + φ > 180°,

wobei φ der Winkel ist, den die Meridiane am Pol einschließen. Für φ = 90° erhalten wir ein Dreieck mit drei rechten Winkeln.

Allgemein gilt: Je größer das Dreieck, desto mehr übersteigt seine Winkelsumme 180°:

α + β + γ − 180°  ist proportional zum Flächeninhalt des Dreiecks.

Kleine Dreiecke haben eine Winkelsumme von fast genau 180°, deshalb erscheint uns die Erdoberfläche im gewöhnlichen Maßstab eben. Dieses einfache Beispiel zeigt, dass ohne das fünfte Postulat auch die ganze euklidische Dreieckslehre zusammenbricht.

Was, wenn durch einen Punkt außerhalb einer Geraden weder keine noch genau eine Parallele geht, sondern unendlich viele?

Während die sphärische Geometrie ein Modell eines Raumes mit positiver Krümmung ist, stellt die hyperbolische Geometrie ihr Gegenstück dar, d. h. einen Raum mit konstanter negativer Krümmung. Man kann sie sich als Fläche vorstellen, die überall „wie ein Sattel gekrümmt“ ist.

Das Postulat gilt nicht. Das fünfte Postulat wird durch die gegenteilige Aussage ersetzt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, gehen unendlich viele Geraden, die die gegebene Gerade nicht schneiden.

Modell: die Poincaré-Scheibe.

• Die „Ebene“ ist das Innere eines Kreises. Sein Rand liegt „im Unendlichen“.
• Die „Geraden“ sind die Durchmesser des Kreises und Bögen von Kreisen, die den Rand senkrecht schneiden.
• Winkel werden wie gewohnt gemessen, aber die Abstände „dehnen sich“ zum Rand hin. Ein Bewohner der Scheibe erreicht den Rand nie.

Das Dreieck. Die Seiten eines hyperbolischen Dreiecks sind „nach innen gebogen“, deshalb gilt:

• die Summe der Innenwinkel ist immer kleiner als 180°,
• die Differenz 180° − (α + β + γ) (der sogenannte Winkeldefekt) ist proportional zum Flächeninhalt: Je größer das Dreieck, desto kleiner die Winkelsumme,
• ein Dreieck mit Ecken „im Unendlichen“ (auf dem Rand der Scheibe) hat lauter Winkel von null und trotzdem einen endlichen Flächeninhalt.

Wie eine hyperbolische Ebene aussieht, die mit gleich großen Kacheln gepflastert ist, zeigen die Holzschnitte von M. C. Escher, zum Beispiel Kreislimit III (1959; Link auf Englisch). Die Kacheln am Rand wirken winzig, in der hyperbolischen Geometrie sind aber alle gleich groß.

Wer erkannte als Erster, dass sich das fünfte Postulat nicht beweisen lässt?

Um 1820 gelangten drei Männer unabhängig voneinander zum selben Schluss: Das fünfte Postulat lässt sich nicht beweisen, weil es eine widerspruchsfreie Geometrie gibt, in der es nicht gilt. Ihre Schicksale hätten dabei nicht unterschiedlicher sein können.

Carl Friedrich Gauß (1777–1855): eine Entdeckung in der Schublade

Der „Fürst der Mathematiker“ aus Göttingen dachte schon als Student über Parallelen nach. Um 1820 war er überzeugt, dass die nichteuklidische Geometrie widerspruchsfrei ist. Veröffentlicht hat er darüber aber nie etwas. In einem Brief an den Astronomen Bessel aus dem Jahr 1829 erklärte er, warum: Er fürchtete das „Geschrei der Böotier“, also den Spott derer, die den neuen Gedanken nicht verstehen würden. Gauß war berühmt und vorsichtig und wollte seinen Ruf nicht aufs Spiel setzen. Seine Überlegungen vertraute er nur Briefen und privaten Notizen an. Es wird überliefert, dass er bei der Landesvermessung im Königreich Hannover auch die Winkelsumme in einem großen Dreieck mit den Ecken Hohenhagen, Brocken und Inselsberg untersuchte. Ob er damit die nichteuklidische Geometrie wirklich „überprüfen“ wollte, ist allerdings eher eine Legende.

János Bolyai (1802–1860): die Warnung des Vaters

Jánosʼ Vater Farkas Bolyai, ein Studienfreund von Gauß, widmete den Parallelen einen großen Teil seines Lebens und löste nichts. Als er merkte, dass sich auch sein Sohn mit ihnen beschäftigte, flehte er ihn in einem Brief an, davon abzulassen: Es werde ihm die Ruhe, die Gesundheit und die Lebensfreude rauben, so wie ihm selbst. János, ein junger Offizier der österreichischen Armee, machte trotzdem weiter. Im Jahr 1823 schrieb er seinem Vater begeistert, er habe „aus dem Nichts eine neue, seltsame Welt geschaffen“. Seine Arbeit erschien 1832 nur als Anhang (Appendix) zum Lehrbuch seines Vaters. Farkas schickte sie an Gauß, und der antwortete, er könne sie nicht loben, denn damit würde er sich selbst loben: Er sei schon vor Jahren auf dasselbe gekommen. Für János war das ein schwerer Schlag. Er hatte den Eindruck, Gauß wolle ihm die Entdeckung streitig machen. Als er später auch von Lobatschewski erfuhr, verdächtigte er ihn, eine erfundene Gestalt zu sein. Er verließ die Armee, lebte zurückgezogen und in Armut in Marosvásárhely (heute Târgu Mureș in Rumänien) und veröffentlichte nichts mehr. Er starb 1860 fast vergessen. Nach seinem Tod hinterließ er Tausende Seiten von Manuskripten.

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856): Spott in Kasan

Lobatschewski war Professor und langjähriger Rektor der Universität Kasan. Seine „imaginäre Geometrie“ trug er 1826 vor und veröffentlichte sie 1829–1830 im örtlichen Universitätsboten, also als Erster der drei. Die Reaktion war grausam. Der einflussreiche Petersburger Mathematiker Michail Ostrogradski lehnte die Arbeit ab, und in einer Petersburger Zeitschrift erschien eine spöttische anonyme Rezension. Lobatschewski gab nicht auf und schrieb weiter, auf Russisch, Deutsch und Französisch. Sein deutsches Büchlein von 1840 las Gauß, lernte angeblich wegen Lobatschewskis Arbeiten Russisch und setzte seine Wahl in die Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften (1842) durch. Öffentlich trat er aber nie für ihn ein, und Lobatschewski selbst erfuhr von dieser Anerkennung wahrscheinlich nie. Im Jahr 1846 wurde Lobatschewski von der Universität abberufen. Gegen Ende seines Lebens erblindete er und musste sein letztes Werk, die Pangeometrie (1855), schon diktieren. Er starb 1856, ohne Anerkennung erlebt zu haben.

Späte Genugtuung. Erst nach dem Tod aller drei wendete sich das Blatt. Aus Gaußʼ nachgelassenem Briefwechsel ging hervor, dass er an die neue Geometrie geglaubt hatte. Eugenio Beltrami (1868) und später Felix Klein und Henri Poincaré konstruierten Modelle der hyperbolischen Geometrie innerhalb der euklidischen. Damit zeigten sie endgültig, dass sie genauso widerspruchsfrei ist wie die Euklids. Der zweitausend Jahre lang gesuchte „Beweis“ des fünften Postulats existiert also nicht. Das Postulat ist von den übrigen unabhängig. Heute trägt die hyperbolische Geometrie Lobatschewskis Namen, und in Ungarn und Rumänien ist Bolyai ein Nationalheld.

Warum sollten uns Geometrien interessieren, in denen das fünfte Postulat nicht gilt?

Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien veränderte den Blick auf die Mathematik selbst.

Axiome waren nicht mehr „selbstverständliche Wahrheiten über die Welt“, sondern wurden zu einer Wahl. Ein Mathematiker kann sie anders wählen und untersuchen, was für eine Welt daraus erwächst. Auf dieser Erkenntnis beruht die gesamte moderne axiomatische Mathematik.

Die verschiedenen Geometrien haben auch sehr praktischen Nutzen. Die sphärische Geometrie ist die Grundlage der Navigation und der Kartografie: Flugzeuge und Schiffe bewegen sich auf Großkreisen, und Geodäten müssen bei der Vermessung großer Gebiete mit dem sphärischen Exzess rechnen.

Die hyperbolische Geometrie fand Eingang in die bildende Kunst (Eschers „Kreislimits“), und in der modernen Informatik wird sie zur Darstellung riesiger Netzwerke und hierarchischer Daten verwendet. Und sie warf eine Frage auf, die sich Euklid nicht stellte: Welche Geometrie hat der Raum, in dem wir tatsächlich leben?