Neeukleidovská geometrie

Co je bod? Co je přímka?

Na počátku stála Eukleidova snaha ucelit geometrické poznání v díle Základy (kolem roku 300 př. n. l.).

Eukleidés se pokusil definovat základní objekty, ovšem z dnešního pohledu byly jeho definice spíše intuitivní a filozofické:

• bod definoval jako „to, co nemá dílu“,
• přímku jako „délku bez šířky“.

Aby mohl budovat svou teorii, stanovil pět postulátů:

1. Libovolné dva body lze spojit přímkou. vyzkoušet
2. Úsečku lze neomezeně prodloužit. vyzkoušet
3. Lze sestrojit kružnici s libovolným středem a poloměrem. vyzkoušet
4. Všechny pravé úhly jsou si rovny. vyzkoušet
5. Protíná-li přímka dvě jiné přímky tak, že součet vnitřních úhlů na téže straně je menší než dva pravé, pak se ty dvě přímky (dostatečně prodloužené) protnou na této straně. vyzkoušet

Zatímco první čtyři byly považovány za zřejmé a jednoduché, pátý postulát (o rovnoběžkách) svou složitostí vyčníval. Sám Eukleidés se mu vyhýbal, jak dlouho to šlo, a poprvé jej použil až u 29. věty.

V eukleidovské rovině má každý trojúhelník součet vnitřních úhlů přesně 180°. Vyzkoušej si to; na dalších zastaveních to porovnáme s koulí a s hyperbolickou rovinou.

Je pátý postulát opravdu samostatný předpoklad, nebo ho lze dokázat z prvních čtyř?

Po staletí se matematici domnívali, že nejde o axiom, ale o větu, kterou lze dokázat pomocí předchozích čtyř.

O důkaz se po dva tisíce let pokoušela dlouhá řada matematiků: Ptolemaios, Proklos, Ibn al-Hajsam, Omar Chajjám, Násiruddín Túsí, John Wallis, Girolamo Saccheri, Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre a mnozí další. Žádný z „důkazů“ neobstál. Pokaždé se ukázalo, že autor někde potichu použil tvrzení, které je s pátým postulátem rovnocenné.

Tyto pokusy ale přinesly řadu ekvivalentních formulací. Nejznámější jsou dvě:

Za předpokladu prvních čtyř postulátů jsou tato tvrzení s pátým postulátem logicky ekvivalentní: popření jednoho nutně vede k vyvrácení druhého. Zásadním předpokladem je však eukleidovská rovina. Co se stane, když ji opustíme a přeneseme své úvahy například na povrch koule?

Co když „rovinou“ nebude rovný list papíru, ale povrch koule?

Model. „Rovinou“ je povrch koule, „body“ jsou body na ní. Roli „přímek“ přebírají hlavní kružnice, tj. průniky sféry s rovinou procházející jejím středem (poledníky, rovník). Jsou to nejkratší spojnice bodů po povrchu koule.

Porušení postulátu. Každé dvě hlavní kružnice se protnou, a to dokonce ve dvou protilehlých bodech. Rovnoběžky tedy vůbec neexistují.

Trojúhelník. Snadno si lze představit trojúhelník tvořený dvěma poledníky a úsekem rovníku. Poledníky protínají rovník pod úhlem 90°, takže

α + β + γ = 90° + 90° + φ > 180°,

kde φ je úhel, který poledníky svírají u pólu. Pro φ = 90° dostaneme trojúhelník se třemi pravými úhly.

Obecně platí, že čím je trojúhelník větší, tím víc jeho součet úhlů přesahuje 180°:

α + β + γ − 180°  je úměrné obsahu trojúhelníka.

Malé trojúhelníky mají součet téměř přesně 180°, proto nám zemský povrch v běžném měřítku připadá rovný. Tento jednoduchý příklad ukazuje, že bez pátého postulátu se hroutí i celá eukleidovská nauka o trojúhelnících.

Co když bodem mimo přímku nevede žádná rovnoběžka ani právě jedna, ale nekonečně mnoho?

Zatímco sférická geometrie je modelem prostoru s kladnou křivostí, hyperbolická geometrie představuje její protiklad, tj. prostor s konstantní zápornou křivostí. Lze si ji představit jako plochu, která je všude „prohnutá jako sedlo“.

Porušení postulátu. Pátý postulát je nahrazen opačným tvrzením: bodem neležícím na přímce prochází nekonečně mnoho přímek, které danou přímku neprotnou.

Model: Poincarého disk.

• „Rovinou“ je vnitřek kruhu. Jeho okraj leží „v nekonečnu“.
• „Přímkami“ jsou průměry kruhu a oblouky kružnic, které okraj protínají kolmo.
• Úhly se měří jako obvykle, ale vzdálenosti se směrem k okraji „natahují“. Obyvatel disku k okraji nikdy nedojde.

Trojúhelník. Strany hyperbolického trojúhelníka jsou „prohnuté dovnitř“, proto:

• součet vnitřních úhlů je vždy menší než 180°,
• rozdíl 180° − (α + β + γ) (tzv. úhlový defekt) je úměrný obsahu: čím větší trojúhelník, tím menší součet úhlů,
• trojúhelník s vrcholy „v nekonečnu“ (na okraji disku) má všechny úhly nulové, a přesto konečný obsah.

Jak vypadá hyperbolická rovina vydlážděná stejně velkými dlaždicemi, ukazují dřevoryty M. C. Eschera, například Kruhová limita III (1959). Dlaždice u okraje vypadají drobné, ale v hyperbolické geometrii jsou všechny stejně velké.

Kdo jako první poznal, že pátý postulát dokázat nelze?

Kolem roku 1820 došli tři muži nezávisle na sobě k témuž závěru: pátý postulát dokázat nelze, protože existuje bezesporná geometrie, ve které neplatí. Jejich osudy se přitom nemohly lišit víc.

Carl Friedrich Gauss (1777–1855): objev v šuplíku

„Kníže matematiků“ z Göttingenu přemýšlel o rovnoběžkách už jako student. Kolem roku 1820 byl přesvědčen, že neeukleidovská geometrie je bezesporná. Nikdy o ní ale nic nepublikoval. V dopise astronomovi Besselovi z roku 1829 vysvětlil proč: bál se „křiku Boiótů“, tedy posměchu těch, kdo by novou myšlenku nepochopili. Gauss byl slavný a opatrný a pověst si riskovat nechtěl. Své úvahy svěřoval jen dopisům a soukromým poznámkám. Traduje se, že při geodetickém měření v Hannoversku zkoumal i součet úhlů ve velkém trojúhelníku vrcholů Hohenhagen, Brocken a Inselsberg. Zda tím chtěl neeukleidovskou geometrii opravdu „ověřit“, je však spíš legenda.

János Bolyai (1802–1860): otcovo varování

Jánosův otec Farkas Bolyai, Gaussův přítel ze studií, zasvětil rovnoběžkám velkou část života a nic nevyřešil. Když zjistil, že se jimi zabývá i syn, prosil ho v dopise, aby toho nechal: vezme mu to prý klid, zdraví i radost ze života, tak jako jemu. János, mladý důstojník rakouské armády, přesto pokračoval. V roce 1823 otci nadšeně napsal, že „z ničeho stvořil nový, podivný svět“. Jeho práce vyšla v roce 1832 jen jako dodatek (Appendix) k otcově učebnici. Farkas ji poslal Gaussovi a ten odpověděl, že ji chválit nemůže, protože by tím chválil sám sebe: na totéž prý přišel už před lety. Pro Jánose to byla obrovská rána. Měl dojem, že mu Gauss chce objev upřít. Když se později dozvěděl i o Lobačevském, podezíral, že jde o vymyšlenou postavu. Odešel z armády, žil v ústraní a chudobě v Marosvásárhely (dnes Târgu Mureș v Rumunsku) a už nic dalšího nepublikoval. Zemřel v roce 1860 téměř zapomenut. Po smrti po něm zůstaly tisíce stran rukopisů.

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856): výsměch v Kazani

Lobačevskij byl profesorem a dlouholetým rektorem univerzity v Kazani. Svou „imaginární geometrii“ přednesl v roce 1826 a publikoval ji v letech 1829–1830 v místním univerzitním věstníku, tedy jako první ze tří. Odezva byla krutá. Vlivný petrohradský matematik Michail Ostrogradskij práci odmítl a v petrohradském časopise vyšla posměšná anonymní recenze. Lobačevskij se nevzdal a psal dál, rusky, německy i francouzsky. Jeho německou knížku z roku 1840 četl Gauss, prý se kvůli Lobačevského pracím začal učit rusky a prosadil jeho zvolení do göttingenské vědecké společnosti (1842). Veřejně se ho ale nikdy nezastal a sám Lobačevskij se o jeho uznání pravděpodobně nedozvěděl. V roce 1846 byl Lobačevskij odvolán z univerzity. Ke konci života oslepl a svou poslední práci, Pangeometrii (1855), už musel nadiktovat. Zemřel v roce 1856, aniž by se dočkal uznání.

Pozdní satisfakce. Teprve po smrti všech tří se situace obrátila. Z Gaussovy pozůstalé korespondence vyšlo najevo, že nové geometrii věřil. Eugenio Beltrami (1868) a později Felix Klein a Henri Poincaré sestrojili modely hyperbolické geometrie uvnitř té eukleidovské. Tím definitivně ukázali, že je stejně bezesporná jako Eukleidova. Dva tisíce let hledaný „důkaz“ pátého postulátu tedy neexistuje. Postulát je na ostatních nezávislý. Dnes nese hyperbolická geometrie jméno Lobačevského a v Maďarsku i Rumunsku je Bolyai národním hrdinou.

Proč by nás měly zajímat geometrie, ve kterých neplatí pátý postulát?

Objev neeukleidovských geometrií změnil pohled na samotnou matematiku.

Axiomy přestaly být „zřejmými pravdami o světě“ a staly se volbou. Matematik si je může zvolit jinak a zkoumat, jaký svět z nich vyroste. Na tomto poznání stojí celá moderní axiomatická matematika.

Různé geometrie mají i velmi praktické využití. Sférická geometrie je základem navigace a kartografie: letadla a lodě plují po hlavních kružnicích a geodeti při měření velkých území musí počítat se sférickým excesem.

Hyperbolická geometrie se uplatnila ve výtvarném umění (Escherovy „kruhové limity“) a v moderní informatice se používá k zobrazování obrovských sítí a hierarchických dat. A otevřela otázku, kterou si Eukleidés nekladl: jakou geometrii má prostor, ve kterém skutečně žijeme?