Sprache und Logik

Auf die Frage „Möchtest du Tee oder Kaffee?“ antwortest du „beides“. Der Gastgeber stutzt, der Logiker lächelt.

Ist „beides“ nach der Logik eine richtige Antwort? Und ist die Aussage „Wenn 2 > 4, dann liegt Prag in Brasilien“ wahr?

• „Oder“: in der Rede oft ausschließend („Tee oder Kaffee?“), in der Logik und im Code einschließend.
• „Wenn“: In der Rede erwarten wir einen Zusammenhang von Ursache und Wirkung, in der Logik nicht.
• Vorrang: Die Sprache drückt ihn mit Betonung und Kommas aus, eine formale Sprache mit Klammern und Regeln. Deshalb bindet AND stärker als OR, und deshalb lohnt es sich, in Bedingungen Klammern zu setzen.

Die Logik beruhte immer auf der Frage, was ein Satz aussagt. Deshalb brachten sie in ihrer ganzen Geschichte Menschen voran, die sich mit der Sprache beschäftigten. Logik und Sprachwissenschaft entstanden zusammen, trennten sich und trafen sich im Computer wieder. Diese Seite ist ein Exkurs zum Kapitel Logik.

Wer entscheidet, dass „Regnet es?“ keine Aussage ist – der Grammatiker oder der Logiker?

Die Stoiker waren zugleich Grammatiker. Dieselben Menschen, die die Aussage und die Junktoren erfanden (Chrysipp und seine Schule, siehe das Kapitel Logik), arbeiteten auch die Lehre von den grammatischen Fällen und den Wortarten aus.

Eine Spur davon tragen wir im Deutschen bis heute mit uns. Das griechische ptōsis bedeutet „Fall“; die Römer übersetzten es als casus, und das Deutsche wiederum als Fall. Wenn du in der Schule vom ersten oder zweiten Fall sprichst, benutzt du ein stoisches Wort.

Die grammatischen Schriften der Stoiker sind nicht vollständig erhalten; ihre Lehre kennen wir vor allem von späteren Autoren, zum Beispiel von Diogenes Laertios (Leben und Meinungen berühmter Philosophen, Buch VII).

Frage, Befehl, Wunsch, Anrede, Aussage: Die Grammatik unterscheidet viele Arten von Sätzen. Die Logik wählte nur diejenigen, bei denen es sinnvoll ist zu fragen „gilt das?“, und nannte sie Aussagen.

Im Satz „Ein Mensch läuft“ und im Satz „Der Mensch ist eine Art“ kommt dasselbe Wort vor. Zeigt es in beiden auf dasselbe?

An den Universitäten von Paris und Oxford wurde im 13. und 14. Jahrhundert die Logik als Grundlage allen Studiums gelehrt. Mittelalterliche Logiker (zum Beispiel Petrus Hispanus im 13. Jahrhundert oder Wilhelm von Ockham im 14.) untersuchten, worauf genau sich ein Wort in einem bestimmten Satz bezieht. Sie nannten das suppositio, „Stehen für“: Ein Wort im Satz steht für bestimmte Dinge, und für welche, hängt vom Satz ab.

Neben ihnen wirkten die Modisten, Grammatiker, die nach allgemeinen „Weisen“ (modi) des Ausdrucks suchten, die allen Sprachen gemeinsam sind. Das bekannteste modistische Werk, die Grammatica speculativa des Thomas von Erfurt (Anfang des 14. Jahrhunderts), ist einer der ersten Versuche einer universalen Grammatik.

• Personal (suppositio personalis): „Ein Mensch läuft.“ Das Wort steht für Einzelne.
• Einfach (suppositio simplex): „Der Mensch ist eine Art.“ Das Wort steht für einen Begriff.
• Material (suppositio materialis): „Mensch ist ein Substantiv.“ Das Wort steht für sich selbst.

Das ist ein Vorläufer der heutigen Unterscheidung von Variable und Wert. Ein Programmierer tut jeden Tag dasselbe:

// personal: ein konkreter Wert
  mensch.laufen()
  // einfach: ein Typ, ein Begriff
  class Mensch { }
  // material: das Wort selbst, eine Zeichenkette
  "Mensch".length   // 6

„Alle Studenten können Python nicht.“ Heißt das, dass es niemand kann, oder dass es jemand nicht kann?

Gottlob Frege (1848–1925), Professor für Mathematik in Jena, misstraute der Sprache. Er hielt die natürliche Sprache für ungenau und mehrdeutig und schuf deshalb eine künstliche Begriffsschrift – die erste formale Sprache mit den Quantoren „für alle“ und „es gibt“. Aus ihr geht die heutige Prädikatenlogik hervor.

Die Symbole ∀ und ∃ stammen nicht von Frege. Frege schrieb zweidimensional, mit Strichen und Haken; das umgedrehte E (∃) führte Giuseppe Peano ein, und das umgedrehte A (∀) setzte sich erst im 20. Jahrhundert durch.

„Jeder“ und „einige“ sind keine Namen von Dingen, sondern Anweisungen, alle Dinge durchzugehen: ∀x „für jedes x gilt…“, ∃x „es gibt ein x, für das…“. Mit ihnen verschwindet die Mehrdeutigkeit aus der Frage:

niemand kann es:  ∀x (S(x) ⇒ ¬P(x))
jemand kann es nicht:  ¬∀x (S(x) ⇒ P(x))

Im Code begegnest du Quantoren als every() und some():

people.every(x => !student(x) || python(x))  // ∀x (S(x) ⇒ P(x))
  people.some(x => student(x) && !python(x))   // ∃x (S(x) ∧ ¬P(x))

Der Satz „Das Nichts selbst nichtet“ ist grammatisch in Ordnung: Subjekt, Verb. Aber sagt er überhaupt etwas aus?

Der Wiener Kreis, eine Gruppe von Philosophen, Mathematikern und Physikern im Wien der 1920er- und 1930er-Jahre, wollte die Sprache der Wissenschaft „bereinigen“: nur Sätze behalten, die entweder logisch wahr oder durch Erfahrung überprüfbar sind. Eines seiner führenden Mitglieder war Rudolf Carnap (1891–1970), der von 1931 bis 1935 an der Deutschen Universität in Prag lehrte.

1932 schrieb er den Aufsatz Überwindung der Metaphysik durch logische Analyse der Sprache. Berühmt ist er durch seinen Angriff auf Martin Heideggers Satz „Das Nichts selbst nichtet“ (aus der Vorlesung Was ist Metaphysik?, 1929): Nach Carnap sieht der Satz grammatisch richtig aus, verletzt aber die logische Syntax, weil er aus „nichts“ ein Substantiv macht.

Carnaps Logische Syntax der Sprache behandelte die Sprache als Kalkül: ein Alphabet (welche Zeichen wir schreiben dürfen), Formregeln (welche Zeichenketten wohlgeformt sind) und Schlussregeln (was woraus folgt). Genau so ist eine Programmiersprache aufgebaut: Zeichen, Grammatik, Auswertungsregeln.

Carnaps Analyse von Heideggers Satz lässt sich an einem gewöhnlichen Gespräch zeigen. „Was ist draußen?“ – „Nichts.“ Logisch bedeutet das, dass draußen nichts ist, kein x: ¬∃x draußen(x). Hier ist „nichts“ nicht der Name eines Dings, sondern die Verneinung eines Quantors. Wer es zum Subjekt macht, nichtet(Nichts), behandelt es wie ein Ding, und der Satz verliert seinen Sinn, obwohl die Grammatik stimmt.

Programmierer kennen das: Code, der durch den Parser kommt, aber an der Typprüfung scheitert. Syntaktisch korrekt und trotzdem Unsinn.

Wie viele Regeln genügen, um alle richtigen deutschen Sätze zu erzeugen und keinen falschen?

Noam Chomsky (geboren 1928) kehrte die Richtung um. Frege und Carnap wollten die Sprache ersetzen oder bereinigen; Chomsky tat 1956–57 das Gegenteil und beschrieb mit formalen Grammatiken die natürliche Sprache, wobei er die Grammatiken nach ihrer Mächtigkeit ordnete (die Chomsky-Hierarchie). Die Informatiker übernahmen sie sofort: Reguläre Ausdrücke, die Grammatiken von Programmiersprachen und die Parser in Compilern bauen direkt darauf auf.

Im selben Buch steht der berühmte Satz „Colorless green ideas sleep furiously“ (Farblose grüne Ideen schlafen wütend). Er ist grammatisch richtig und ergibt trotzdem keinen Sinn: dieselbe Grenze zwischen Form und Bedeutung, die Carnap sah.

Eine formale Grammatik ist eine Menge von Ersetzungsregeln. Die Regel S → ( S ) S | ε sagt: Ersetze das Symbol S entweder durch ein Klammerpaar mit einem weiteren S darin und dahinter oder durch nichts. Eine einzige Regel, und aus ihr gehen alle richtig geklammerten Ausdrücke hervor.

Warum kann das ein regulärer Ausdruck nicht? Eine reguläre Grammatik merkt sich nur endlich viele Zustände, also kann sie keine beliebig tiefe Verschachtelung zählen. Deshalb lassen sich weder HTML noch Code zuverlässig mit regulären Ausdrücken parsen, und deshalb brauchen Compiler eine kontextfreie Grammatik.

Lässt sich jeder deutsche Satz so in Logik übersetzen, dass ein Computer erkennt, was aus ihm folgt?

Richard Montague (1930–1971), Logiker an der University of California in Los Angeles, vertrat in Aufsätzen von 1970 (English as a Formal Language, Universal Grammar) die Ansicht, dass es zwischen natürlichen und formalen Sprachen keinen wichtigen theoretischen Unterschied gibt. Das Englische lässt sich genauso präzise beschreiben wie die Sprache der Logik. Damit begründete er die formale Semantik, auf die sich die maschinelle Sprachverarbeitung heute stützt.

Wo Frege die Sprache verließ und Carnap sie bereinigen wollte, behauptete Montague, dass keine Bereinigung nötig sei: Es genüge, die Regeln zu finden, nach denen sich die Bedeutung eines Satzes aus den Bedeutungen seiner Teile zusammensetzt.

Dieses Prinzip heißt Kompositionalität (oft wird es Frege zugeschrieben). Einen Satz in Logik zu übersetzen ist dann eine Frage des Zusammensetzens: Jedes Wort erhält sein Symbol, und die Struktur des Satzes bestimmt, wie man sie verbindet. Und gerade bei der Struktur passieren Fehler: Probier es aus.