Jazyk a logika

Na otázku „Dáš si čaj, nebo kávu?“ odpovíš „obojí“. Hostitel se zarazí, logik se usměje.

Je „obojí“ podle logiky správná odpověď? A je pravdivý výrok „Jestliže 2 > 4, pak Praha leží v Brazílii“?

• „Nebo“: v češtině často vylučovací („čaj, nebo kávu?“), v logice i v kódu nevylučovací.
• „Jestliže“: v řeči čekáme souvislost příčiny a následku, v logice ne.
• Priorita: jazyk ji vyjadřuje intonací a čárkami, formální jazyk závorkami a pravidly. Proto AND váže silněji než OR a v podmínkách se vyplatí závorkovat.

Logika vždy stála na otázce, co věta říká. Proto ji po celou historii posouvali lidé, kteří zkoumali jazyk. Logika a jazykověda se rodily spolu, rozešly se a v počítači se znovu potkaly. Tahle stránka je vložkou ke kapitole Logika.

Kdo rozhodne, že „Prší?“ není výrok – gramatik, nebo logik?

Stoici byli zároveň gramatici. Stejní lidé, kteří vymysleli výrok a spojky (Chrysippos a jeho škola, viz kapitola Logika), rozpracovali i nauku o mluvnických pádech a slovních druzích.

Stopu toho nosíme v češtině dodnes. Řecké ptósis znamená „pád“; Římané ho přeložili jako casus a čeština zase jako pád. Když ve škole skloňuješ, používáš stoické slovo.

Stoické gramatické spisy se nedochovaly celé; jejich nauku známe hlavně z pozdějších autorů, například z Diógena Laertia (Životy filozofů, kniha VII).

Otázka, rozkaz, přání, oslovení, oznámení: gramatika rozlišuje mnoho druhů vět. Logika si z nich vybrala jen ty, o kterých má smysl se ptát „platí to?“, a ty nazvala výroky.

Ve větě „Člověk běží“ i ve větě „Člověk je druh“ stojí totéž slovo. Ukazuje v obou na totéž?

Na univerzitách v Paříži a Oxfordu 13. a 14. století se logika učila jako základ všeho studia. Středověcí logici (například Petr Hispánský v 13. století nebo Vilém Ockham ve 14. století) zkoumali, na co přesně slovo v dané větě odkazuje. Říkali tomu suppositio, „zastupování“: slovo ve větě zastupuje nějaké věci, a které to jsou, záleží na větě.

Vedle nich působili modisté, gramatici, kteří hledali obecné „způsoby“ (modi) vyjadřování společné všem jazykům. Nejznámější modistický spis, Grammatica speculativa Tomáše z Erfurtu (počátek 14. století), je jedním z prvních pokusů o univerzální gramatiku.

• Osobní (suppositio personalis): „Člověk běží.“ Slovo zastupuje jednotlivce.
• Jednoduché (suppositio simplex): „Člověk je druh.“ Slovo zastupuje pojem.
• Materiální (suppositio materialis): „Člověk je podstatné jméno.“ Slovo zastupuje samo sebe.

Je to předchůdce dnešního rozlišení proměnné a hodnoty. Programátor dělá totéž denně:

// osobní: konkrétní hodnota
  clovek.bezi()
  // jednoduché: typ, pojem
  class Clovek { }
  // materiální: samo slovo, řetězec
  "clovek".length   // 6

„Každý student neumí Python.“ Znamená to, že ho neumí nikdo, nebo že ho někdo neumí?

Gottlob Frege (1848–1925), profesor matematiky v Jeně, se jazyka bál. Přirozený jazyk považoval za nepřesný a víceznačný, a proto vytvořil umělý pojmopis (Begriffsschrift) – první formální jazyk s kvantifikátory „pro všechna“ a „existuje“. Odtud pochází dnešní predikátová logika.

Značky ∀ a ∃ nejsou Fregeho. Frege psal dvojrozměrně, čarami a háčky; obrácené E (∃) zavedl Giuseppe Peano a obrácené A (∀) se ujalo až ve 20. století.

„Každý“ a „některý“ nejsou jména věcí, ale návod, jak projít všechny věci: ∀x „pro každé x platí…“, ∃x „existuje x, pro které platí…“. S nimi zmizí víceznačnost z otázky:

nikdo ho neumí:  ∀x (S(x) ⇒ ¬P(x))
někdo ho neumí:  ¬∀x (S(x) ⇒ P(x))

V kódu potkáš kvantifikátory jako every() a some():

lide.every(x => !student(x) || python(x))  // ∀x (S(x) ⇒ P(x))
  lide.some(x => student(x) && !python(x))   // ∃x (S(x) ∧ ¬P(x))

Věta „Nic samo nicuje“ je gramaticky v pořádku: podmět, přísudek. Říká ale vůbec něco?

Vídeňský kroužek, skupina filozofů, matematiků a fyziků ve Vídni 20. a 30. let, chtěl „vyčistit“ jazyk vědy: ponechat jen věty, které jsou buď logicky pravdivé, nebo ověřitelné zkušeností. Jedním z jeho hlavních členů byl Rudolf Carnap (1891–1970), který v letech 1931–1935 učil na německé univerzitě v Praze.

Roku 1932 napsal článek Překonání metafyziky logickou analýzou jazyka. Slavný je v něm útok na větu Martina Heideggera „Nic samo nicuje“ (z přednášky Co je metafyzika?, 1929): podle Carnapa věta vypadá gramaticky správně, ale porušuje logickou syntax, protože z „nic“ dělá podstatné jméno.

Carnapova Logická syntax jazyka zacházela s jazykem jako s kalkulem: abeceda (jaké znaky smíme psát), pravidla tvoření vět (které řetězce jsou správně utvořené) a pravidla odvozování (co z čeho plyne). Je to přesně stavba programovacího jazyka: znaky, gramatika, pravidla vyhodnocení.

Carnapův rozbor Heideggerovy věty lze ukázat na obyčejném rozhovoru. „Co je venku?“ – „Nic.“ Logicky to znamená, že venku není nic, žádné x: ¬∃x venku(x). „Nic“ tu není jméno věci, ale zápor kvantifikátoru. Kdo z něj udělá podmět, nicuje(Nic), zachází s ním jako s věcí, a věta ztratí smysl, i když gramatika je v pořádku.

Programátor to zná: kód, který projde parserem, ale neprojde typovou kontrolou. Syntakticky správně, a přesto nesmysl.

Kolik pravidel stačí, aby z nich vyšly všechny správné české věty, a žádná nesprávná?

Noam Chomsky (nar. 1928) obrátil směr. Frege a Carnap chtěli jazyk nahradit nebo vyčistit; Chomsky v letech 1956–57 naopak pomocí formálních gramatik popsal jazyk přirozený a seřadil gramatiky podle síly (Chomského hierarchie). Informatici ji hned převzali: regulární výrazy, gramatiky programovacích jazyků a parsery v překladačích stojí přímo na ní.

Ve stejné knize je slavná věta „Colorless green ideas sleep furiously“ – „Bezbarvé zelené ideje zuřivě spí“. Je gramaticky správná, a přesto nedává smysl: stejná hranice mezi tvarem a smyslem, jakou viděl Carnap.

Formální gramatika je sada přepisovacích pravidel. Pravidlo S → ( S ) S | ε říká: symbol S nahraď buď dvojicí závorek s dalším S uvnitř a za ní, nebo ničím. Jediné pravidlo, a vyjdou z něj všechny správně uzávorkované výrazy.

Proč to neumí regulární výraz? Regulární gramatika si pamatuje jen konečně mnoho stavů, a tak nespočítá libovolně hluboké vnoření. Proto se HTML ani kód nedají spolehlivě rozebírat regulárními výrazy a překladače potřebují bezkontextovou gramatiku.

Dá se každá česká věta přeložit do logiky tak, aby počítač poznal, co z ní plyne?

Richard Montague (1930–1971), logik na Kalifornské univerzitě v Los Angeles, tvrdil v článcích z roku 1970 (English as a Formal Language, Universal Grammar), že mezi přirozeným a formálním jazykem není zásadní teoretický rozdíl. Angličtinu lze popsat stejně přesně jako jazyk logiky. Založil tak formální sémantiku, ze které dnes čerpá počítačové zpracování jazyka.

Kde Frege jazyk opustil a Carnap ho chtěl vyčistit, tam Montague tvrdil, že žádné čištění není potřeba: stačí najít pravidla, podle kterých se význam věty skládá z významů jejích částí.

Tomuto principu se říká kompozicionalita (často se připisuje Fregemu). Překlad věty do logiky je pak skládání: každé slovo dostane svůj symbol a stavba věty určí, jak je spojit. A právě stavba je místo, kde se dá chybovat: zkus to.