Wahrscheinlichkeit: Wie zwei Herren über ein unvollendetes Spiel stritten

Frage

Wie teilt man den Einsatz eines Spiels, das nie zu Ende gespielt wurde?

Die abgebrochene Partie

Zwei Spieler, A und B, spielen eine Reihe von Spielen. Jedes Spiel endet mit dem Sieg eines der beiden; Unentschieden gibt es nicht, keiner ist im Vorteil, und das Ergebnis eines Spiels sagt nichts über das nächste aus. Beide haben einen Einsatz in die Kasse gelegt, und wer zuerst sechs Spiele gewinnt, bekommt alles. Die Partie wird aber beim Stand von 5 : 3 für A abgebrochen. Der Einsatz liegt auf dem Tisch. Wer bekommt ihn, und wie viel?

Das Problem war in Italien schon seit mehr als einem Jahrhundert bekannt, und jeder löste es anders. Hör zu, wie sie darüber hätten streiten können, wenn sie einander hätten schreiben können.

Ein Chat über das unvollendete Spiel

Vier italienische Gelehrte streiten über den Einsatz. Am Ende wählst du, wen du zuerst fragst: Pascal oder Fermat.

Chat: „Das unvollendete Spiel“

ein erdachtes Gespräch

Die Nachrichten sind nicht erhalten, die Ideen schon. Eine Partie auf sechs Siege wurde beim Stand von 5 : 3 für Spieler A abgebrochen.

Luca PacioliTeilen wir nach den gewonnenen Punkten. A hat fünf, B drei, also teilen wir den Einsatz im Verhältnis 5 : 3. Ganz einfach.

Niccolò TartagliaDas gefällt mir nicht. Ich nehme die zum Sieg nötigen Punkte als Ganzes, und die gewonnenen Punkte sind ein Teil davon. Aus diesen Verhältnissen berechne ich dann auch den Anteil des Gegners.

Lorenzo ForestaniIch würde den ungewissen Rest halbieren. Wir wissen nicht, wer gewinnt, also sollen beide die gleichen Chancen haben.

Girolamo CardanoIhr schaut alle zurück, auf das, was geschehen ist. Schaut nach vorn: Wie könnte das Spiel enden? Hypothetische Spielstände!

Luca PacioliUnd wie willst du die zählen?

Girolamo CardanoDas weiß ich noch nicht. Mir fehlen die Worte dafür.

Keiner von ihnen kann beweisen, dass er recht hat. Es fehlt eine Sprache, in der man über eine solche Frage genau sprechen könnte. Im Jahr 1654 schalten sich zwei Herren aus Paris und Toulouse in das Gespräch ein. Wen fragst du zuerst?

Wer ist wer – vier Stimmen vor 1654

Luca Pacioli, Mönch und Rechenlehrer: Summa de arithmetica (1494). Abgebildet mit einem Schüler an einem Tisch.

Girolamo Cardano, Arzt und Mathematiker: Practica arithmeticae (1539).

Niccolò Tartaglia, Mathematiker aus Brescia: General trattato di numeri et misure (1556).

Lorenzo Forestani, Franziskaner: Pratica d’arithmetica e geometria (1603). Wir wissen nicht, wie er aussah, deshalb zeigen wir ihn durch das Titelblatt einer späteren Ausgabe.

Beide Antworten führen zur selben Zahl, und heute würden wir sagen, dass es um die Gewinnchancen geht. Doch einen Zufall im heutigen Sinn gab es damals nicht. Ein unvollendetes Spiel ist nur ein hypothetisches Szenario, etwas, das nicht geschehen ist, und nach dem zu fragen, was hypothetisch hätte geschehen können, ergab keinen Sinn. Was geschieht, entschied Gott, nicht das Abzählen von Fällen. Nach dem Zufall fragte man also gar nicht. Und was ist Zufall überhaupt?

Wie gelangte eine solche Frage zu Pascal? Stell dir zwei Männer an einem Tisch vor, die um goldene Pistolen spielen (die Pistole war eine damals in Frankreich und Spanien gängige Goldmünze). Der eine gewinnt, der andere verliert. Da tritt ein Bote ein: Der König ruft den Ritter in die Schlacht, und das Spiel muss enden. Der, der vorn lag, ist empört, dass ihm der Sieg durch die Finger gleitet. Den anderen, der verlor, bekümmert das nicht. Schließlich hat sein Gegner keine Ahnung, wie man den Einsatz gerecht teilt. Und vielleicht weiß das niemand.

Genau eine solche Frage stellte 1654 der Chevalier de Méré, ein Höfling und leidenschaftlicher Spieler, an Pascal. Wer Pascal und Fermat waren und wie sie damit umgingen, erzählen die folgenden Teile.

Mensch

Ein Pariser Mathematiker und ein Jurist aus Toulouse, die einander Briefe schrieben.

Zwei Briefpartner

Die Geschichte hat zwei Hauptfiguren, und beide kamen von dort, wo man es nicht erwarten würde. Pascal war Philosoph und Erfinder, Fermat ein Jurist, der sich in seiner Freizeit mit Mathematik beschäftigte. Gemeinsam schufen sie in einem einzigen Briefwechsel ein ganzes Fachgebiet. Ob sie sich jemals persönlich begegnet sind, ist nicht sicher.

Blaise Pascal

1623–1662, Clermont → Paris → Rouen

Mathematiker, Physiker, Philosoph und Moralist. In Paris lebte er „frei“, zwischen Salons und Glücksspiel. Dort lernte er Méré kennen.

1623Geboren am 19. Juni in Clermont.
1640Essay pour les coniques: projektive Geometrie.
1642Die Pascaline, eine mechanische Rechenmaschine.
1654Im Sommer Briefe mit Fermat. Im Herbst entgeht er bei einem Kutschenunfall dem Tod, und am 23. November erlebt er eine mystische Nacht. Er schließt sich den Jansenisten in Port-Royal an.
1662Stirbt am 19. August in Paris.
1670Les Pensées erscheinen postum.

Die Pascaline – eine Maschine, die rechnet

Eine mechanische Rechenmaschine aus Zahnrädern, die Pascal als junger Mann baute. Napier wollte den Menschen das Multiplizieren ersparen; Pascal überließ die Arbeit Maschinen. Zehn Jahre später untersuchte er, wie man mit Dingen rechnet, die noch nicht geschehen sind.

Pierre de Fermat

1601–1665, Beaumont-de-Lomagne → Toulouse

Jurist und Rat am Parlament von Toulouse. Mathematik war sein Hobby, und darin war er einer der Allergrößten.

1601Geboren in Beaumont-de-Lomagne.
1631Wird Rat am Parlament in Toulouse.
1654Briefe mit Pascal über die Teilung des Einsatzes.
1660Schlägt Pascal vor, sich auf halbem Weg zu treffen. Ob es dazu kam, wissen wir nicht.
1665Stirbt am 12. Januar in Castres.

Um Ihnen offen über die Geometrie zu sprechen: Ich halte sie für die höchste Übung des Geistes …

Pour vous parler franchement de la Géométrie, je la trouve le plus haut exercice de l’esprit …

… und deshalb nenne ich sie das schönste Handwerk der Welt …

… aussi je l’appelle le plus beau métier du monde …

… denjenigen in ganz Europa, den ich für den größten Geometer halte …

… celui de toute l’Europe que je tiens pour le plus grand géomètre …

Pascal an Fermat, 10. August 1660

So schrieb Pascal sechs Jahre später an Fermat. Gleich darauf fügte er hinzu, dass es letzten Endes doch nur ein Handwerk sei.

Wer fragte

Die Frage stellte kein Mathematiker, sondern ein Spieler. Der Chevalier de Méré (mit bürgerlichem Namen Antoine Gombaud) spielte um Geld Würfel und hatte eine Regel, die ihm lange Zeit Geld einbrachte: darauf zu wetten, dass bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens einmal eine Sechs fällt. Dann änderte er das Spiel. Er begann mit zwei Würfeln zu werfen und darauf zu wetten, dass bei 24 Würfen mindestens einmal eine Doppelsechs fällt.

Die Überlegung klang vernünftig. Zwei Würfel haben statt sechs Möglichkeiten 36 mögliche Paare, also sechsmal so viele. Wenn vier Würfe genügten, sollten sechsmal so viele Würfe reichen, also 4 · 6 = 24. Am Spieltisch ging die Rechnung aber nicht auf, und er hatte keine Ahnung, warum. Mit diesem Zweifel wandte er sich an Pascal.

Wo sich Méré irrte – warum 24 Würfe nicht genügen

Chancen addieren sich nicht, sie multiplizieren sich. Einfacher ist es, das Gegenteil zu zählen: dass nie eine Doppelsechs fällt. Bei einem Wurf mit zwei Würfeln geschieht das in 35 von 36 Fällen, also mit der Chance 35/36.

Bei 24 Würfen muss es 24-mal hintereinander misslingen: (35/36)²⁴ ≈ 0,509. Das ist mehr als die Hälfte, die Doppelsechs fällt also nur in etwa 49,1 % der Fälle. Méré wettete gegen sich selbst. Bei 25 Würfen ist es (35/36)²⁵ ≈ 0,494, also eine Chance von etwa 50,6 %. Die kleinste Zahl von Würfen, bei der sich die Wette lohnt, ist 25.

Mit einem Würfel und vier Würfen geht die Rechnung richtig auf: (5/6)⁴ ≈ 0,482, die Chance auf mindestens eine Sechs beträgt also etwa 51,8 %. Deshalb funktionierte seine ursprüngliche Regel. Die Proportion „sechsmal so viele Möglichkeiten, sechsmal so viele Würfe“ gilt für zwei Würfel aber nicht.

Idee

Drei Briefe, zwei Wege, ein Ergebnis.

Der Blick nach vorn

Den Schlüssel hatte schon Cardano in der Hand: nicht darauf schauen, was geschehen ist, sondern darauf, was noch kommen kann. Doch niemand wusste, was man damit anfangen sollte. Pascal und Fermat spielten das Spiel zu Ende, nur auf dem Papier, jeder auf seine Weise. Ihr Streit und ihre Einigung spielten sich in den Briefen ab, die du unten siehst.

Die Briefe sind zusammengerollt. Klicke auf einen von ihnen, und er entfaltet sich.

Ich sehe wohl, dass die Wahrheit in Toulouse dieselbe ist wie in Paris.

Je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris.

Pascal beginnt freudig: Er und Fermat sind sich bei der Würfelaufgabe einig. Dann legt er ihm ein weiteres Problem vor. Zwei Spieler spielen auf drei gewonnene Spiele, jeder hat 32 Pistolen (Goldmünzen) gesetzt, zusammen 64. Das Spiel wird abgebrochen. Je nachdem, wie weit sie gekommen sind, ergibt sich einer von drei Fällen.

Spiel auf drei Siegejeder setzte 32 Pistolen, zusammen 64
- 1.2 : 1Pascal fehlt noch 1 Sieg, Fermat 248 : 16
- 2.2 : 0Pascal fehlt noch 1 Sieg, Fermat 356 : 8
- 3.1 : 0Pascal fehlen noch 2 Siege, Fermat 344 : 20

Hier spielen Pascal und Fermat die beiden Spieler selbst; in den Briefen haben die Spieler keine Namen. Jedes Szenario baut auf dem Ergebnis des vorigen auf.

1. Szenario 2 : 1

Stand 2 : 1nächstes Spiel
- ½Treffer! Nimmt alle 64
- ½Stand 2 : 2, gleiche Chancen
  - ½nimmt 64
  - ½nimmt 64

Gewinnt Pascal, ist es vorbei, und er nimmt alle 64. Gewinnt Fermat, steht es 2 : 2, und das Glück ist ausgeglichen. Pascal sind also 32 Pistolen sicher, und um die übrigen 32 wird mit gleichen Chancen gespielt.

Chancen ¾ : ¼, also 48 : 16

2. Szenario 2 : 0

Stand 2 : 0nächstes Spiel
- ½nimmt alle 64
- ½Stand 2 : 1, siehe Szenario 1: Pascal stehen 48 zu

Pascal hat 48 sicher, denn selbst wenn er das nächste Spiel verlöre, landete er im Szenario 2 : 1. Um die übrigen 16 ist das Glück ausgeglichen.

56 : 8, denn ½ · 64 + ½ · 48 = 56

3. Szenario 1 : 0

Stand 1 : 0nächstes Spiel
- ½Stand 2 : 0, siehe Szenario 2: Pascal stehen 56 zu
- ½Stand 1 : 1, gleiche Chancen: Pascal stehen 32 zu

Pascal hat 32 sicher. Um die Differenz 56 − 32 = 24 wird mit gleichen Chancen gespielt, das macht 12.

44 : 20, denn ½ · 56 + ½ · 32 = 44

Im Brief fasst Pascal zusammen, wie Fermat vorgeht: Man zählt die größtmögliche Zahl von Spielen, die noch gespielt werden müssten. Spieler A fehlen noch 2 Siege und Spieler B 3, die Partie endet also spätestens nach vier Spielen. „Wir werfen einen Würfel mit zwei Seiten.“ Vier Würfe ergeben 2⁴ = 16 mögliche Ausgänge. Man muss sie nur noch abzählen.

4 Spiele2⁴ = 16 mögliche Ausgänge
- AA gewinnt11 von 16 Ausgängen
  - 1A gewinnt 4 von 4
  - 4A gewinnt 3 von 4
  - 6A gewinnt 2 von 4
- BB gewinnt5 von 16 Ausgängen
  - 4B gewinnt 3 von 4
  - 1B gewinnt 4 von 4

Teilung 11 : 5, bei einem Einsatz von 64 Pistolen 44 : 20

Das Ergebnis ist dasselbe wie im Szenario 1 : 0 aus dem ersten Brief. Einem Spieler, dem zwei Siege gegen drei fehlen, steht derselbe Anteil am Einsatz zu, ob man ihn schrittweise rückwärts oder über alle möglichen Ausgänge berechnet.

Sabotage: der Einwand von Monsieur Roberval

Roberval: Man muss doch nicht vier Spiele spielen. Die Partie kann früher enden.

Pascal: Nichts hindert uns daran weiterzuspielen. Werden Spiele gespielt, die nichts mehr entscheiden, bleibt der Stand „unverändert“, und auf die Teilung des Einsatzes hat das keinen Einfluss. Die zusätzlichen Spiele sind nur ein Rechenhilfsmittel, um alle Ausgänge auf dieselbe Weise zu zählen.

… wenn ich mich nicht täusche, ist eine solche Teilung falsch …

… si je ne me trompe, ce parti est mal juste …

Im selben Brief stieß Pascal allerdings auf ein Hindernis. Bei drei Spielern war er sich nicht sicher, ob die Methode die richtige Teilung liefert. Wirft man einen Würfel mit drei Seiten, ohne auf die Reihenfolge der Ergebnisse zu achten, zählt man falsch. Die Würfe müssen nacheinander betrachtet werden.

Fermat antwortet, und er hat eine einzige Antwort: die Reihenfolge. Den Spielern A, B und C fehlen 1, 2 und 2 Siege. Die Partie endet spätestens nach drei Spielen, und jedes Spiel kann jeder von ihnen gewinnen. Die Reihenfolge von drei Ergebnissen ergibt 3 · 3 · 3 = 27 mögliche Ausgänge.

3 Spiele, 3 Spieler3³ = 27 Reihenfolgen von Ergebnissen
- AA gewinnt17 von 2717
- BB gewinntBBA, BBB, BBC, BCB, CBB5
- CC gewinntCCA, CCC, CCB, CBC, BCC5

Teilung 17 : 5 : 5

Neu ist hier gerade das Modell. Ein „Würfel“ mit zwei oder drei Seiten wird wiederholt geworfen, und jede Reihenfolge von Ergebnissen wird einzeln gezählt. Die Teilung des Einsatzes ist dann nur noch das Abzählen der günstigen Reihenfolgen.

Im Briefwechsel derselben Zeit taucht auch das Triangle arithmétique auf, das Pascalsche Dreieck. Es verkürzt das Abzählen von sechzehn, siebenundzwanzig oder mehr Ausgängen auf das Addieren der Zahlen in einer Zeile. Wie, zeigt der nächste Teil.

Pascal ging die Szenarien rückwärts vom Ende des Spiels durch, Fermat zählte alle möglichen Ausgänge. Die Wege waren verschieden, die Zahl dieselbe. Aus dieser Übereinstimmung entstand mehr als eine Tabelle von Pistolen: eine neue Art, über Dinge zu sprechen, die erst noch geschehen werden.

Formel

Erst jetzt die Schreibweise: günstige Ausgänge durch alle möglichen.

Was haben die Briefe gemeinsam?

Pistolen, Spieler und Würfel sind nur Kulisse. Darunter liegt eine einzige Idee: Der gerechte Anteil an einem ungewissen Gewinn ist die Zahl der Ausgänge, die zu deinem Sieg führen, geteilt durch die Zahl aller möglichen Ausgänge.

Pascal fand dann heraus, dass er diese Anzahlen nicht ausschreiben musste. Sie stehen in einer Zeile seines arithmetischen Dreiecks. Seien n₁ und n₂ die Anzahlen der Siege, die den Spielern A und B noch fehlen, und N = n₁ + n₂. Addiere die ersten n₂ Zahlen der Zeile mit N Zahlen und teile durch die Summe der ganzen Zeile.

Teile den Einsatz selbst

Stelle ein, wie viele Siege jedem Spieler noch fehlen. Probier A: 2, B: 3, und du erhältst die Zahl aus dem zweiten Brief.

Das Pascalsche Dreieck als Rechenbrett

Zeile mit N Zahlen

Spieler A fehlen Siege Spieler B fehlen Siege Einsatz

Die hervorgehobenen Zahlen sind die Ausgänge, die Spieler A gewinnt. Ihre Summe geteilt durch die Summe der ganzen Zeile ist der Anteil von A.

FORMEL

Anteil = günstige Ausgängealle möglichen Ausgänge

Anteil von A = C(N−1, 0) + … + C(N−1, n₂−1)2^N−1 · S

Die Zukunft, Stück für Stück abgezählt.

Anhang für Neugierige

Pascals Wette

Das Herz hat seine Gründe, die die Vernunft nicht kennt.

Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point.

Pascal, Les Pensées, 1670

Nach der mystischen Nacht vom 23. November 1654 übertrug Pascal dieselbe Denkweise (abwägen, was kommen kann, und danach entscheiden) auf eine Frage, die mit Würfeln nichts zu tun hat. Der Mensch ist für ihn wie ein denkendes Schilfrohr, aufgehängt zwischen dem unendlich Kleinen und dem unendlich Großen, unglücklich und auf der Suche nach Zerstreuung. Und der Glaube ist für ihn eine Wette, bei der man sich entscheiden muss.

	Gott ist eine Illusion	Gott ist wirklich
Atheist	verliert nichts, hat seine Zerstreuungen	verliert die Ewigkeit, hat seine Zerstreuungen
Glaubender	weiß nicht, dass er verloren hat; hat auch Zerstreuungen, aber durch gute Taten	verliert nichts und gewinnt die Ewigkeit

So sieht Pascals Argument auf einen Blick aus. Über seine Gültigkeit wird seit Jahrhunderten gestritten. Wir führen es hier an, weil es zeigt, wie weit sich die neue Art, über Ungewissheit nachzudenken, innerhalb eines einzigen Menschenlebens von den Glücksspielen entfernt hat.