Pravděpodobnost: Kterak se dva pánové přeli o nedohranou hru

Otázka

Jak rozdělit sázku ze hry, která se nedohrála?

Přerušená partie

Dva hráči, A a B, spolu hrají sérii partií. Každá skončí výhrou jednoho z nich, remíza neexistuje, nikdo nemá navrch a výsledek jedné partie nic neříká o té další. Do banku vložili sázku a ten, kdo první vyhraje šest partií, ji vezme celou. Jenže hra se přeruší ve chvíli, kdy A vede 5 : 3. Sázka leží na stole. Komu a kolik z ní patří?

Úlohu přesto v Itálii znali už přes století a každý ji řešil jinak. Poslechni si, jak by se o ní pohádali, kdyby si mohli psát.

Chat o nedohrané hře

Čtyři italští učenci se přou o sázku. Na konci si vybereš, koho se zeptáš jako prvního: Pascala, nebo Fermata.

Chat: „Nedohraná hra“

smyšlená konverzace

Zprávy se nedochovaly, myšlenky ano. Hra do šesti výher byla přerušena při stavu 5 : 3 pro hráče A.

Luca PacioliDělme podle dosažených bodů. A jich má pět, B tři, takže sázku dělíme 5 : 3. Jednoduché.

Niccolò TartagliaMně to nesedí. Za celek beru body potřebné k vítězství a dosažené body jsou jeho částí. Z těchto poměrů pak dělím i podíl soupeře.

Lorenzo ForestaniJá bych nejistý zbytek dělil napůl. Nevíme, kdo vyhraje, tak ať mají oba stejné šance.

Girolamo CardanoVšichni se díváte dozadu, na to, co se stalo. Podívejte se dopředu: jak by hra mohla skončit? Hypotetická skóre!

Luca PacioliA jak je spočítáš?

Girolamo CardanoTo zatím nevím. Chybí mi na to slova.

Nikdo z nich nemůže dokázat, že má pravdu. Chybí jazyk, ve kterém by se o takové otázce dalo přesně mluvit. Roku 1654 se do hovoru přidají dva pánové z Paříže a Toulouse. Koho se zeptáš jako prvního?

Kdo je kdo – čtyři hlasy před rokem 1654

Luca Pacioli, mnich a učitel počtů: Summa de arithmetica (1494). Na obrázku s žákem u stolu.

Girolamo Cardano, lékař a matematik: Practica arithmeticae (1539).

Niccolò Tartaglia, matematik z Brescie: General trattato di numeri et misure (1556).

Lorenzo Forestani, františkán: Pratica d’arithmetica e geometria (1603). Jeho podobu neznáme, proto je u něj titulní list pozdějšího vydání.

Obě odpovědi dojdou ke stejnému číslu a my bychom dnes řekli, že jde o šance na výhru. Jenže šance v dnešním smyslu tehdy neexistovala. Nedohraná hra je jen hypotetický scénář, něco, co se nestalo, a ptát se, co by se hypoteticky mohlo dít, nemělo smysl. O tom, co se stane, rozhodoval Bůh, ne počet případů. Lidé se proto neptali ani na náhodu. A co to vlastně náhoda je?

Jak se taková otázka dostala k Pascalovi? Představ si dva muže u stolu, kteří hrají o zlaté pistole (pistole byla zlatá mince, která tehdy obíhala ve Francii i ve Španělsku). Jeden vede, druhý prohrává. Vtom vstoupí posel: král volá rytíře do boje a hra se musí přerušit. Ten, kdo vedl, je rozhořčený, že mu vítězství uniká přímo z rukou. Druhý, který prohrával, se tím netrápí. Vždyť jeho soupeř přece neví, jak sázku spravedlivě rozdělit. A možná to neví nikdo.

Právě takovou otázku roku 1654 položil Pascalovi chevalier de Méré, dvořan a vášnivý hráč. Kdo byli Pascal a Fermat a jak si s ní poradili, to je obsah dalších částí.

Člověk

Pařížský matematik a toulouský právník, kteří si psali dopisy.

Dva dopisovatelé

Příběh má dva hlavní hrdiny a oba se k němu dostali odjinud, než by člověk čekal. Pascal byl filozof a vynálezce, Fermat právník, který se matematice věnoval ve volném čase. Společně vytvořili obor jedinou výměnou dopisů. Zda se někdy potkali osobně, není jisté.

Blaise Pascal

1623–1662, Clermont → Paříž → Rouen

Matematik, fyzik, filozof a moralista. V Paříži žil „svobodně“, mezi salony a hazardem. Právě tam potkal Méréa.

162319. června se narodil v Clermontu.
1640Essay pour les coniques: projektivní geometrie.
1642Pascalina, mechanická kalkulačka.
1654V létě dopisy s Fermatem. Na podzim unikne smrti při havárii kočáru a 23. listopadu prožije mystickou noc. Vstoupí k jansenistům do Port-Royal.
166219. srpna umírá v Paříži.
1670Posmrtně vychází Les Pensées.

Pascalina – stroj, který počítá

Mechanická kalkulačka z ozubených koleček, kterou Pascal vyrobil jako mladý muž. Napier chtěl ušetřit násobení, Pascal je svěřil strojům. O deset let později zkoumal, jak počítat s tím, co ještě nenastalo.

Pierre de Fermat

1601–1665, Beaumont-de-Lomagne → Toulouse

Právník a rada toulouského parlamentu. Matematiku mu zastupoval koníček, v němž byl jedním z největších.

1601Narodil se v Beaumont-de-Lomagne.
1631Stává se radou parlamentu v Toulouse.
1654Dopisy s Pascalem o dělení sázky.
1660Navrhuje Pascalovi setkání v polovině cesty. Nevíme, zda k němu došlo.
1665Umírá 12. ledna v Castres.

Abych k vám byl upřímný o geometrii: pokládám ji za nejvyšší cvičení ducha …

Pour vous parler franchement de la Géométrie, je la trouve le plus haut exercice de l’esprit …

… a proto ji nazývám nejkrásnějším řemeslem na světě …

… aussi je l’appelle le plus beau métier du monde …

… ten z celé Evropy, kterého pokládám za největšího geometra …

… celui de toute l’Europe que je tiens pour le plus grand géomètre …

Pascal Fermatovi, 10. srpna 1660

Tak psal Pascal Fermatovi o šest let později. Hned dodal, že konec konců je to jen řemeslo.

Kdo se ptal

Otázku nepoložil matematik, ale hráč. Chevalier de Méré (vlastním jménem Antoine Gombaud) hrál o peníze s kostkami a měl pravidlo, které mu dlouho vydělávalo: sázet, že při čtyřech hodech jednou kostkou padne aspoň jedna šestka. Pak hru změnil. Začal házet dvěma kostkami a sázel, že při 24 hodech padne aspoň jednou dvojitá šestka.

Úvaha zněla rozumně. Dvě kostky mají 36 možných dvojic místo šesti, tedy šestkrát víc. Stačily-li čtyři hody, mělo by stačit šestkrát víc hodů, tedy 4 · 6 = 24. Jenže u stolu mu to nevycházelo a on netušil proč. S touto pochybností se obrátil na Pascala.

V čem se Méré spletl – proč 24 hodů nestačí

Šance se nesčítají, ale násobí. Snadněji se počítá opak: že dvojitá šestka nepadne ani jednou. Při jednom hodu dvěma kostkami se to stane v 35 případech z 36, tedy se šancí 35/36.

Při 24 hodech musí nepadnout všech 24krát za sebou: (35/36)²⁴ ≈ 0,509. To je víc než polovina, takže dvojitá šestka padne jen asi v 49,1 % případů. Méré tedy sázel proti sobě. Při 25 hodech je to (35/36)²⁵ ≈ 0,494, tedy šance asi 50,6 %. Nejmenší počet hodů, při němž se sázka vyplatí, je 25.

U jedné kostky a čtyř hodů to vychází správně: (5/6)⁴ ≈ 0,482, šance na aspoň jednu šestku je asi 51,8 %. Proto mu původní pravidlo fungovalo. Úměra „šestkrát víc možností, šestkrát víc hodů“ ale u dvou kostek neplatí.

Myšlenka

Tři dopisy, dvě cesty, jeden výsledek.

Dívat se dopředu

Klíč měl v ruce už Cardano: nedívat se na to, co se stalo, ale na to, co ještě může přijít. Nikdo ale nevěděl, co si s ním počít. Pascal s Fermatem hru dokončili, a to jen na papíře, každý po svém. Jejich spor a shoda se odehrály v dopisech, které vidíš níže.

Dopisy jsou svinuté. Klikni na kterýkoli a rozvine se.

Vidím, že pravda je v Toulouse stejná jako v Paříži.

Je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris.

Pascal začíná radostně: v úloze s kostkami se s Fermatem shodli. Pak mu předkládá další úlohu. Dva hráči hrají o tři vítězné partie, každý vsadil 32 pistolí (zlatých mincí), celkem tedy 64. Hra se přeruší. Podle toho, jak daleko došli, nastane jeden ze tří případů.

Hra do tří vítězstvíkaždý vsadil 32 pistolí, celkem 64
- 1.2 : 1Pascalovi chybí 1 výhra, Fermatovi 248 : 16
- 2.2 : 0Pascalovi chybí 1 výhra, Fermatovi 356 : 8
- 3.1 : 0Pascalovi chybí 2 výhry, Fermatovi 344 : 20

Pascal s Fermatem tu hrají za oba hráče, v dopisech jsou to hráči bez jména. Každý další scénář využívá výsledek předchozího.

1. Scénář 2 : 1

Stav 2 : 1příští partie
- ½Bim! Bere všech 64
- ½stav 2 : 2, rovné šance
  - ½bere 64
  - ½bere 64

Vyhraje-li Pascal, je konec a bere všech 64. Vyhraje-li Fermat, je stav 2 : 2 a osud je rovnocenný. Pascal tedy už teď drží 32 jistých pistolí a o zbylých 32 se hraje napůl.

Šance ¾ : ¼, tedy 48 : 16

2. Scénář 2 : 0

Stav 2 : 0příští partie
- ½bere všech 64
- ½stav 2 : 1, viz scénář 1: Pascal drží 48

Pascal má jistých 48, protože i kdyby příští partii prohrál, dostane se do scénáře 2 : 1. O zbylých 16 je osud rovnocenný.

56 : 8, protože ½ · 64 + ½ · 48 = 56

3. Scénář 1 : 0

Stav 1 : 0příští partie
- ½stav 2 : 0, viz scénář 2: Pascal drží 56
- ½stav 1 : 1, rovné šance: Pascal drží 32

Jistých má Pascal 32. Rozdíl 56 − 32 = 24 se hraje napůl, to je 12.

44 : 20, protože ½ · 56 + ½ · 32 = 44

Pascal v dopise shrnuje, jak postupuje Fermat: spočítat nejvyšší možný počet partií, které by bylo nutné odehrát. Hráči A chybí 2 výhry a hráči B 3 výhry, takže hra skončí nejpozději po čtyřech partiích. „Házíme kostkou se dvěma stranami.“ Čtyři hody dávají 2⁴ = 16 možných konců. Stačí je spočítat.

4 partie2⁴ = 16 možných konců
- AA vyhraje11 z 16 konců
  - 1A vyhraje 4 z 4
  - 4A vyhraje 3 z 4
  - 6A vyhraje 2 ze 4
- BB vyhraje5 z 16 konců
  - 4B vyhraje 3 ze 4
  - 1B vyhraje 4 ze 4

Rozdělení 11 : 5, při sázce 64 pistolí 44 : 20

Výsledek je stejný jako ve scénáři 1 : 0 z prvního dopisu. Hráči, který potřebuje dvě výhry proti třem, patří stejná část sázky, ať ji spočteš kroky zpátky, nebo všemi možnými konci.

Sabotáž: námitka pana Robervala

Roberval: Není potřebné hrát čtyři partie. Hra může skončit dřív.

Pascal: Nic nebrání v pokračování. Odehrají-li se i partie, které už nic nerozhodují, skóre se „neměnně“ drží a na rozdělení sázky to nemá žádný vliv. Dodatečné partie jsou jen účetní pomůcka, jak všechny konce spočítat stejným způsobem.

… pokud se nemýlím, takové rozdělení je chybné …

… si je ne me trompe, ce parti est mal juste …

Ve stejném dopise ale Pascal narazil. U tří hráčů si nebyl jistý, že metoda dává správné dělení. Házet kostkou o třech stranách, ale nehlídat při tom pořadí výsledků, vede k chybnému počtu. Hody je potřeba brát po sobě.

Fermat odpovídá a má na to jednu odpověď: pořadí. Hráči A, B, C potřebují po řadě 1, 2 a 2 výhry. Hra skončí nejpozději po třech partiích, a každou z nich může vyhrát kdokoli z nich. Pořadí tří výsledků dává 3 · 3 · 3 = 27 možných konců.

3 partie, 3 hráči3³ = 27 pořadí výsledků
- AA vyhraje17 z 2717
- BB vyhrajeBBA, BBB, BBC, BCB, CBB5
- CC vyhrajeCCA, CCC, CCB, CBC, BCC5

Rozdělení 17 : 5 : 5

Nový je tu právě ten model. Dvou- nebo trojstěnná „kostka“ se hází opakovaně a každé pořadí výsledků se počítá zvlášť. Pak je dělení sázky už jen počítání příznivých pořadí.

V korespondenci z téhož období se objevuje i Triangle arithmétique, Pascalův trojúhelník. Ten počítání šestnácti, sedmadvaceti a více konců zkracuje na sčítání čísel z jednoho řádku. Jak, ukáže další část.

Pascal šel po scénářích od konce hry zpátky, Fermat spočítal všechny možné konce. Cesty byly různé, číslo stejné. Z té shody vzniklo něco víc než tabulka pistolí: nový způsob, jak mluvit o věcech, které se teprve stanou.

Vzorec

Teprve teď zápis: příznivé konce ku všem možným.

Co mají dopisy společného?

Pistole, hráči i kostky jsou jen kulisy. Pod nimi je jediná myšlenka: spravedlivý podíl na nejisté výhře je tolik, kolik konců vede k tvé výhře, děleno počtem všech možných konců.

Pascal pak zjistil, že tyto počty nemusí vypisovat. Leží v řádku jeho aritmetického trojúhelníku. Označme n₁ a n₂ počty výher, které ještě chybí hráčům A a B, a N = n₁ + n₂. Prvních n₂ čísel řádku s N čísly se sečte a vydělí součtem celého řádku.

Rozděl sázku sám

Nastav, kolik výher komu chybí. Zkus A: 2, B: 3 a dostaneš číslo z druhého dopisu.

Pascalův trojúhelník jako počítadlo

řádek s N čísly

Hráči A chybí výhry Hráči B chybí výhry Sázka

Zvýrazněná čísla jsou konce, které vyhrává hráč A. Jejich součet dělený součtem celého řádku je jeho podíl.

VZOREC

podíl = příznivé koncevšechny možné konce

podíl A = C(N−1, 0) + … + C(N−1, n₂−1)2^N−1 · S

Budoucnost, spočítaná po kouskách.

Dodatek pro zvídavé

Pascalova sázka

Srdce má své důvody, které rozum nezná.

Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point.

Pascal, Les Pensées, 1670

Po mystické noci z 23. listopadu 1654 přenesl Pascal stejný způsob uvažování, zvážit, co může přijít, a podle toho se rozhodnout, na otázku, která s kostkami nemá nic společného. Člověk je podle něj jako myslící rákos, vyvěšený mezi malým a velkým nekonečnem, nešťastný a hledající rozptýlení. A víra je pro něj sázka, ve které je potřeba se rozhodnout.

	Bůh je iluze	Bůh je pravda
Ateista	neztrácí nic, má svá rozptýlení	ztrácí věčnost, má svá rozptýlení
Věřící	neví, že ztratil; má také rozptýlení, ale konáním dobra	neztrácí nic a získává věčnost

Takto Pascalův argument vypadá v přehledu. O jeho platnosti se vedou spory už po staletí. Uvádíme ho tu proto, že ukazuje, jak daleko od hazardních her se nový způsob uvažování o nejistotě dostal během jediného života.